2018　学習院大学　理（コア），文（プラス）学部MathJax

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　無限等比数列$\{a_n\}$が

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a_n}^3=2$

を満たすとき，$\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　$a\text{，}b$を正の実数とする．$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{a^2}{x}}+{\displaystyle \frac{b^2}{1-x}}$

の最小値を求めよ．

【２】　自然数$m\text{，}n$に対して

$x=8m+n\text{，}y=5m+2n$

とおく．$x\text{，}y$の最大公約数を$d$とする．

(1)　$m\text{，}n$が互いに素ならば，$d=1$または$d=11$であることを示せ．

(2)　$m=2$のとき，$d=11$となる最小の自然数$n$を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　空間内の$6$点

$\mathrm{N}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{S}(0,0,-1)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,-1,0)$

を頂点とする正八面体を考える．$1$つの辺の両端にある$2$頂点は互いに隣接するという．動点$\mathrm{P}$は，はじめに頂点$\mathrm{N}$の位置にあり，${\displaystyle \frac{1}{4}}$の確率で，$\mathrm{N}$に隣接する$4$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のいずれかに移動し，以後は，直前にいた頂点を除く$3$つの隣接する頂点のいずれかに，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で移動することを繰り返す．ただし，$\mathrm{S}$に着いた時点で，移動を終えるものとする．

(1)　$2$回の移動の後，$\mathrm{P}$が$\mathrm{S}$の位置にある確率を求めよ．

(2)　$3$回移動し，その時点で$\mathrm{P}$が$\mathrm{N}$の位置にある確率を求めよ．

(3)　$5$回移動し，その時点で$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のいずれかの位置にある確率を求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

【４】　平面上で，$2$曲線

$y=e^x+1\text{，}y=6e^{-x}$

と$y$軸とで囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．