2018　学習院大学　数学科特別入試MathJax

【１】　正の整数$a\text{，}b$がある．$a$は$6$進法で${xy}_{(6)}$と表され，$b$は$4$進法で${yx}_{(4)}$と表される．また$a-b=1$であるという．

(1)　$x\text{，}y$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{2a}{b}}$を$7$進法で表せ．

【２】　$a$を実数とする．

(1)　$2$次方程式

$x^2-2ax+2a=0\cdots$(＊)

が$2$つの虚数解を持つための$a$についての条件を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた条件を満たしながら動くとき，$2$次方程式(＊)の虚数解の集合を複素数平面上に図示せよ．

【３】

(1)　直線$y=3x+5$に関して点$\mathrm{A}(2,1)$と対称な点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を(1)のものとするとき，$\angle \mathrm{APB}=30\mathrm{°}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

【４】

(1)　関数$y=e-x^2$の変曲点をすべて求め，各々における接線の方程式を求めよ．

編注：$y=e^{-x^2}$の間違いか？

【４】

(2)　次の積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(t+\cos t)}^{2}dt$