2018　学習院大学　理（プラス）学部MathJax

【１】　$2$つの等式

${\alpha }^2-4\alpha +t=0\text{，}\arg \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

を同時に満たす実数$t$と複素数$\alpha$を求めよ．ただし，$\arg \alpha$は$\alpha$の偏角を表す．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　$n$を自然数とする．$1$から$3n$までの数字が書かれた$3n$枚のカードをよく切って，$3$枚を順に取り，$1$枚目，$2$枚目，$3$枚目のカードに書かれた数字をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．ただし，取ったカードは戻さない．$a+b+c$が$3$の倍数である確率を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　等式

$x+\sqrt{x^2+1}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x^2+1}}}$

を満たす実数$x$を求めよ．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　条件

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$\{\begin{array}{lll}\left|x\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}& \text{のとき，}& f_n(x)=n-n^2\left|x\right|\\ \left|x\right|>{\displaystyle \frac{1}{n}}& \text{のとき，}& f_n(x)=0\end{array}$

と定め，

$I_n={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{f}_n(x)\cos xdx$

とおく．

(1)　定積分$I_n$を求めよ．

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．