2018　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$x$軸と直線$x=1\text{，}x=2$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$f^{\prime }(x)=x{e}^{-x}-6x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt-12x{\displaystyle {\int }_0^1}tf(1-t^2)dt$

および$k={\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$を満たす関数とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$s=1-t^2$とおいて，置換積分法を使って${\displaystyle {\int }_0^1}tf(1-t^2)dt$を計算すると，$k$を用いて${\displaystyle {\int }_0^1}tf(1-t^2)dt=\boxed{\text{①}}$と表される．

　したがって，$f^{\prime }(x)$は$k$と$x$を用いて

$f^{\prime }(x)=x{e}^{-x}-\boxed{\text{②}}$

と表される．よって，$f(x)$は$C$を定数として，

$f(x)=\boxed{\text{③}}+C$

と表される．これを$k={\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$に代入することにより，$C$は$k$を用いて表すことができる．

　関数$f(x)$の極値が$1$つのみとなる$k$の値の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．極値が$2$つあり，かつ$x=0$で極大値をとるような$k$の値の範囲は$\boxed{\text{⑤}}$である．この場合，$x=\boxed{\text{⑥}}$で極小値をとる．

(1)　$z+{\displaystyle \frac{4}{z}}$の実部と虚部を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(2)　$x$が$0$以外の実数全体を動くとき，$x+{\displaystyle \frac{4}{x}}$がとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$z+{\displaystyle \frac{4}{z}}$が実数で，さらに不等式$2\leqq z+{\displaystyle \frac{4}{z}}\leqq 5$を満たすとき，点$(x,y)$が存在する範囲を$xy$座標平面上に図示せよ．