2018　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　放物線$y={(x-1)}^2$と直線$y=kx+1$が異なる$2$点で交わっている．

　次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　放物線と直線の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標$(x,y)$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$が描く図形を図示せよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=2^x$のとき

${\displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2}}\geqq f\left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)$

が成り立つことを示せ．また，$f(x)=\sqrt{3}$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$g(x)=8^x+8^{-x}-10(4^x+4^{-x})+35(2^x+2^{-x})-55$の最小値，および，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{c}$とおく．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　線分$\mathrm{EF}$上の点$\mathrm{P}$に対し$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は$0\leqq s\leqq 1$なる実数$s$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{①}}$

と表され，同様に線分$\mathrm{GH}$上の点$\mathrm{Q}$に対し$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\boxed{\text{②}}$

と$0\leqq t\leqq 1$なる実数$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表される．

(2)　$\mathrm{EF}$と$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{O}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\boxed{\text{③}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\boxed{\text{④}}$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表されるので，

$\cos \angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{⑤}}$

である．

【４】　$n$本のくじがあり，その中に$3$本の当たりくじが入っている．ただし，$n\geqq 5$であるとする．この中から$2$本のくじを引く．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$n=5$のとき，$2$本とも当たりくじである確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$n=7$のとき，少なくとも$1$本は当たりくじである確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　少なくとも$1$本は当たりくじである確率を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$2$本とも当たりくじである確率が${\displaystyle \frac{1}{12}}$となる$n$は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　少なくとも$1$本は当たりくじである確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下となる最小の$n$は$\boxed{\text{⑤}}$である．