2018　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}=-{\displaystyle \frac{7a_n+4}{6a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+1}}$とおく．このとき，ある整数$k\text{，}l$があり，$b_{n+1}=k{b}_n+l$が成り立つ．$k\text{，}l$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　$i$を虚数単位とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　${\displaystyle \frac{2+5i}{4+i}}-{\displaystyle \frac{i}{4-i}}$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{17}}$である．

【２】　$i$を虚数単位とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$2$乗すると$16i$となる複素数は，$\boxed{\text{②}}$と$\boxed{\text{③}}$である．

【２】　$i$を虚数単位とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$1$の$3$乗根のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とする．このとき，${\omega }^2+\omega =\boxed{\text{④}}\text{，}$${\omega }^{10}+{\omega }^5=\boxed{\text{⑤}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{{\omega }^{10}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^5}}+1=\boxed{\text{⑥}}\text{，}$${({\omega }^2+5\omega )}^2+{(5{\omega }^2+\omega )}^2=\boxed{\text{⑦}}$である．ただし，$\boxed{\text{④}}\text{〜}\boxed{\text{⑦}}$は$\omega$を用いず数値でうめよ．

【３】　$\theta$を$0\leqq \theta \leqq 2\pi$を満たす実数とし，実数$a\text{，}b$は$0<a<b$を満たす定数とする．$\theta$の関数

$y={\displaystyle \frac{a^2}{2}}\cos 2\theta -2a^2\cos \theta +b^2{\sin }^2\theta +{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2$

について考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$t=\cos \theta$とおくとき，$y$を$t$の式で表すと

$y=(\boxed{\text{①}})t^2-2a^{2}t+\boxed{\text{②}}$$=(\boxed{\text{①}}){(t-{\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{①}}}})}^2+\boxed{\text{③}}$

となる．したがって，$\boxed{\text{④}}\leqq {\displaystyle \frac{b}{a}}$のとき，$y$は$t={\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{①}}}}$で最大値$\boxed{\text{③}}$をとり，$t=\boxed{\text{⑤}}$で最小値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．一方，$1<{\displaystyle \frac{b}{a}}<\boxed{\text{④}}$のとき，$y$は$t=\boxed{\text{⑦}}$で最大値$\boxed{\text{⑧}}$をとる．