2018　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　関数$f(x)=2\cos x+x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値を求め，$f(x)$の増減を表に示せ．ただし，$f(x)$の凹凸を調べる必要はない．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$f(x)>0$を示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx$を求めよ．

(4)　座標平面上の$2$直線$x=0\text{，}x=\pi$と$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=\sin x+x$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　次に示す分数からなる数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．

${\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{3}{8}},{\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{7}{8}},{\displaystyle \frac{1}{16}},{\displaystyle \frac{3}{16}},\cdots ,{\displaystyle \frac{15}{16}},{\displaystyle \frac{1}{32}},\cdots$

さらに，この数列を

${\displaystyle \frac{1}{2}}|{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}}|{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{3}{8}},{\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{7}{8}}|{\displaystyle \frac{1}{16}},{\displaystyle \frac{3}{16}},\cdots ,{\displaystyle \frac{15}{16}}|{\displaystyle \frac{1}{32}},\cdots$

と分けて，その中で分母が$2^k$で，分子が$1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots \text{，}{2}^k-1$である部分を第$k$群（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）とよぶ．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の第$k$群の項数は$\boxed{\text{①}}$個である．

(2)　数列$\{a_n\}$の第$k$群の第$l$番目（$l=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}\boxed{\text{①}}$）の分数は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$a_{127}=\boxed{\text{③}}$であり，${\displaystyle \sum _{n=1}^{127}}{a}_n=\boxed{\text{④}}$である．

(4)　$a_{400}=\boxed{\text{⑤}}$である．

(5)　不等式${\log }_4{a}_n<-5$を満たす最小の$n$は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　$w=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{18}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{18}}$（$i$は虚数単位）とする．原点を$\mathrm{O}(0)$とする複素数平面上に$3$点$\mathrm{P}(w^9)\text{，}\mathrm{Q}(w^6+1)\text{，}\mathrm{R}(w^6-1)$を考える．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$w^9$を$u+vi$（$u\text{，}v$は実数）と表すと

$(u,v)=\boxed{\text{①}}$

である．

(2)　$w^6+1$の絶対値は$\boxed{\text{②}}$であり，$0$以上$2\pi$未満の偏角は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{OQR}$の外接円の中心を$a+bi$（$a\text{，}b$は実数）と表すと

$(a,b)=\boxed{\text{④}}$

である．

(4)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{SQ}\text{，}\angle \mathrm{PQS}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$を満たす点$\mathrm{S}$を$c+di$（$c\text{，}d$は実数）と表すと

$(c,d)=\{\begin{array}{l}\boxed{\text{⑤}}\text{，}d<0\text{のとき}\\ \boxed{\text{⑥}}\text{，}d>0\text{のとき}\end{array}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　さいころを$2$回投げて出た目の数を順に$m\text{，}n$とする．$x$の$2$次方程式$x^2-2mx+n=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$\alpha +\beta +\alpha \beta =10$となる確率は$\boxed{\text{①}}$であり，$\alpha \text{，}\beta$がともに実数となる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=2$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4$とする．辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}$の値は$\boxed{\text{③}}$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を満たす実数を$k$とする．このとき，$k=\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　方程式$61x+19y=1$を満たす整数$x\text{，}y$の組のうち，$x$が$2$桁の自然数で最も小さいものは$(x,y)=\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$\mathrm{O}(0,0)$を原点とする座標平面を考える．このとき，定点$(2,0)$と直線$x=-2$から等距離にある点$(x,y)$の軌跡$C$を表す方程式は$\boxed{\text{⑥}}+x=0$である．また，点$(-2,0)$を通る$C$の接線の傾きは$\boxed{\text{⑦}}$である．