2018　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

$f(x)=\sqrt{x}{e}^{-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$より，

$\cos {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{①}}}-\sqrt{\boxed{\text{②}}}}{4}}$

である．

(2)　$i$を虚数単位とし，複素数

$\alpha =\sqrt{\boxed{\text{①}}}-\sqrt{\boxed{\text{②}}}+(\sqrt{\boxed{\text{①}}}+\sqrt{\boxed{\text{②}}})i$

を考える．${\alpha }^n$が正の実数であるような最小の自然数$n$は$\boxed{\text{③}}$である．また$\alpha$の$\boxed{\text{③}}$乗は$\boxed{\text{④}}$桁の整数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(3)　$\alpha$を(2)で定めた複素数とし，$\beta =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}$とおく．$m\text{，}n$がすべての整数を動くとき，

${\displaystyle \frac{{\alpha }^n{\beta }^m}{4^n}}$

は，全部で$\boxed{\text{⑤}}$個の複素数の値をとる．これら$\boxed{\text{⑤}}$個のうち，虚数であって偏角$\theta$が最小のものを$\gamma$とおく．ここで，偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で考える．

$\gamma ={\displaystyle \frac{\alpha {\beta }^m}{4}}$

となるための必要十分条件は，整数$m$を$\boxed{\text{⑥}}$で割ったときの余りが$\boxed{\text{⑦}}$となることである．ここで，$\boxed{\text{⑦}}$に入る自然数はただひとつとする．

$x=(1-\cos \theta )\cos \theta \text{，}y=(1-\cos \theta )\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

で表される曲線$C$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$の関数$x=(1-\cos \theta )\cos \theta$の導関数を求めよ．

(2)　$\theta$の関数$y=(1-\cos \theta )\sin \theta \text{（}0<\theta <2\pi \text{）}$の極値を求めよ．

(3)　曲線$C$全体の長さ$L$を求めよ．