2018　関西大　後期　文系学部3月3日実施MathJax

【１】　$k\text{，}l\text{，}m$を$k>m>l>0$を満たす定数とする．このとき，$3$つの直線$y=kx\text{，}y=lx\text{，}y=mx$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{〜}\boxed{\text{④}}$は$k\text{，}l\text{，}m$に関する数式で，$\boxed{\text{⑤}}\text{〜}\boxed{\text{⑦}}$は数値でうめよ．

　直線$y=kx$と直線$y=lx$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{1+kl}}$である．直線$y=mx$が$\theta$を$2$等分するとき，$y=mx$上の点$\mathrm{P}$と$y=kx$の距離と，$\mathrm{P}$と$y=lx$の距離が等しいことから，$k\text{，}l\text{，}m$は等式

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{\sqrt{1+k^2}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{\sqrt{1+l^2}}}$

を満たす．このとき，$m$は$2$次方程式

$m^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{k+l}}m-1=0$

を満たす．したがって，$m=1$のとき$kl=\boxed{\text{⑤}}$である．$m=1$かつ$\tan \theta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき$k=\boxed{\text{⑥}}\text{，}l=\boxed{\text{⑦}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$x>0$のとき，$x+{\displaystyle \frac{3}{x}}$の最小値は$\boxed{\text{①}}$であり，最小値をとるときの$x$の値は$\boxed{\text{②}}$である．

　また，$x$が実数のとき，${\displaystyle \frac{x^2+2x+3}{x^2+3}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{3}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{3}}$であり，最大値をとるときの$x$の値は$\boxed{\text{⑤}}\text{，}$最小値をとるときの$x$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さが$5\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さが$6\text{，}$内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-10$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおくと，$\cos \theta =\boxed{\text{①}}$であり，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\boxed{\text{②}}$である．点$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{③}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の外接円を$O$とし，その中心を$\mathrm{Z}$とする．$\theta$を用いて$\angle \mathrm{BZC}=\boxed{\text{⑤}}$と表されるから，$O$の半径は$\boxed{\text{⑥}}$である．