2018　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y=x^3-4x^2+5x-6$を考える．

　次の問いに答えよ．

(1)　$C$の概形を描け．

(2)　原点を通る$C$の接線はただ$1$つであることを示せ．また，そのときの接点の座標と接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と(2)の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項までの和$S_n$が，次の関係式を満たしている．

$(n+1)S_n=({\displaystyle \frac{3}{4}}{n}^3+{\displaystyle \frac{5}{4}}{n}^2)a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$a_n>a_{n+1}>0$が成り立つことを示せ．

(4)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

【３】　方程式

$3{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta +(3-\sqrt{3})\sin \theta +(\sqrt{3}-1)\cos \theta -\sqrt{3}=0$(＊)

（$0\leqq \theta \leqq \pi$）を考える．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$t=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$とおくとき，$t$の値の範囲は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　方程式(＊)を$t$の方程式として表すと$\boxed{\text{②}}$となり，その解は，$t=\boxed{\text{③}}$である．

(3)　(2)で求めた解は，$\theta =\boxed{\text{④}}\text{，}\boxed{\text{⑤}}$に対応する．

【４】　　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　整数$a$は$3$の倍数ではないとする．このとき，$a^4$を$3$で割った余りは$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$10!$を$10$進法で表すときに末尾に続く$0$の個数は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$200!$を$10$進法で表すときに末尾に続く$0$の個数は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　${\displaystyle \frac{200x}{200+x}}$が整数となる自然数$x$のうち最小のものは$\boxed{\text{④}}$で，最大のものは$\boxed{\text{⑤}}$である．