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2018-14991-1601
2018 関西大学 後期
社会安全・システム理工・環境都市工・
化学生命工学部
3月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f⁡( x)= x2- 1x3 について,次の をうめよ.
f⁡( x) を微分すると, f′⁡( x)= ① だから,曲線 y =f⁡( x) 上の点 ( a, f⁡( a) ) における接線の方程式は
y= f′⁡( a)⁢ x+ 2⁢ ( ② ) a3
である.さらに f⁡( x) の極小値は ③ で,極大値は ④ である.
y= f⁡( x) のグラフは原点に関して対称であることに注意すると, y= f⁡( x) のグラフの第 1 象限にある部分と第 3 象限になる部分にそれぞれ 1 つずつ接点をもつ接線 l の方程式は y = ⑤ であり,その 2 つの接点の x 座標は x = ⑥ である.
f⁡( x) の不定積分は
∫ f⁡( x)⁢ dx= ⑦ +C ( C は積分定数)
だから,曲線 y =f⁡( x) と接線 l :y= ⑤ と x 軸で囲まれた部分の面積は ⑧ である.
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【2】 漸化式 a1= 12 ,a n=a n-1 ⁢( 2-a n-1 ) ( n=2 ,3 , 4 ,⋯ ) で定められる数列 { an } について,次の をうめよ.
a2 = 2 ① -1 2 ① ,a3 = 2 ② -1 2 ② ,a 4= 2 ③ -1 2 ③
と表されるので,一般項は
an= 2 ④ -12 ④
と表されることが予想される.実際
( 2 ④ -1 2 ④ ) ⁢(2- 2 ④ -1 2 ④ )= 2 ⑤ -1 2 ⑤
が成り立つことがわかるので,数学的帰納法によって確かめることができる.ここで, log2 ⁡(1 -an ) = ⑥ であることから,
∑ n=1 ∞ 1 log2 ⁡(1 -an )= ⑦
である.
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【3】 複素数平面上の図形について,次の をうめよ.
実部が 12 で虚部が正の複素数 z 0 について,直線 l を | z-1| =|z -z0 | を満たす z の全体とし, l は原点 O を通るとする. z0 の虚部は ① である.
円 C 1 を |z |=1 を満たす z の全体とする. l が z 0 と実数 1 の中点を表す複素数 3 4⁢ ( ② ) を通ることに注意すると, l と C 1 の交点を表す複素数のうち実部が負のものは - 12 ⁢ ( ③ ) である.
C1 に内接し, - 12 ( ③ ) をひとつの頂点とする正三角形を T とする. T の辺と l の交点を複素数で表すと, - 12 ( ③ ) と 14 ⁢ ( ④ ) である.
点 - 12 ⁢ ( ③ ) を中心とし, 1 4⁢ ( ④ ) を通る円 C 2 の面積は ⑤ である.また C 2 と T の辺との交点を複素数で表すと, 3-2⁢ 34 + 14⁢ ( ⑥ ) ⁢i と 3 -3 2- ⑦ ⁢ i である.ただし ⑥ , ⑦ は実数である.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 座標平面の 3 点 O ( 0,0 ), A (- 2,1 ), B (- 4,8 ) に対して, ∠AOB の二等分線上の点 P ( x,y ) は,直線の方程式 y = ① を満たす.
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(2) 関数
f⁡( x)= cos2⁡ x+sin⁡ x⁢cos⁡ x ( 0≦x≦ π )
は x = ② のとき,最大値 ③ をとる.
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(3) 数列 { an } は,初項 a1= 1 , 公比 r ( 0< r<1 ) の等比数列である.無限級数
∑ n=2 ∞ 1log⁡ an⁢ log⁡a n+1 = 1log⁡ a2⁢log ⁡a3 + 1log⁡ a3⁢log ⁡a4 +⋯+ 1 log⁡an ⁢log⁡a n+1 +⋯
の和が 4 であるとき, r の値は ④ である.
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(4) a を実数とする. a= ⑤ のとき,
limx →+∞ ( 4⁢x2 +x+ a⁢x )
は有限な値 ⑥ をとる.
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(5) 10n !-1 が 81 の倍数であるような自然数 n のうち,最小のものは ⑦ である.