2019　大学入試センター試験　追試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］　$a$を実数とする．座標平面上で，点$(3,1)$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，直線$y=ax$を$l$とする．

(1)　円$C$の方程式は

$x^2+y^2-\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y+\boxed{\text{ウ}}=0$

である．

(2)　円$C$と直線$l$が接するのは

$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

のときである．

　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のとき，$C$と$l$の接点を通り，$l$に垂直な直線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}x+\boxed{\text{コ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{キク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$は，文字$a$を用いない形で答えること．

(3)　円$C$と直線$l$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるとき，二つの交点を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の長さは

$\boxed{\text{サ}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}a-\boxed{\text{ス}}{a}^2}{a^2+1}}}$

である．また，$\mathrm{AB}$の長さが$2$となるのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

のときである．

【１】

［２］(1)　${\log }_2\boxed{\text{タ}}=0\text{，}$${\log }_2\boxed{\text{チ}}=1$である．また，$100$以下の自然数$x$で${\log }_{2}x$が整数になるものは全部で$\boxed{\text{ツ}}$個ある．

(2)　$r={\log }_{2}3$とおく．このとき，${\log }_{2}54$を$r$を用いて表すと

${\log }_{2}54=\boxed{\text{テ}}r+\boxed{\text{ト}}$

となる．また，${\log }_{2}5$と${\displaystyle \frac{r+3}{2}}\text{，}$${\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$と$r$の大きさをそれぞれ比較すると

${\log }_{2}5\boxed{\text{ナ}}{\displaystyle \frac{r+3}{2}}\text{，}$${\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\boxed{\text{ニ}}r$

である．$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$<$
• $\overline{)\text{1}}$　$=$
• $\overline{)\text{2}}$　$>$

(3)　$k$を$3$以上の整数とする．${\log }_{k}2$の値を調べよう．

　$n\leqq {\log }_{k}2<n+1$を満たす整数$n$は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

　また，整数$m$について，不等式${\displaystyle \frac{m}{10}}\leqq {\log }_{k}2$は$\boxed{\text{ネ}}$と書き直せることから，${\log }_{k}2$を小数で表したときの小数第$1$位の数字を求めることができる．$\boxed{\text{ネ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$km\leqq 20$
• $\overline{)\text{1}}$　$k^m\leqq 20$
• $\overline{)\text{2}}$　$m^k\leqq 20$
• $\overline{)\text{3}}$　$km\leqq 2^{10}$
• $\overline{)\text{4}}$　$k^m\leqq 2^{10}$
• $\overline{)\text{5}}$　$m^k\leqq 2^{10}$

たとえば，${\log }_{7}2$の小数第$1$位の数字は$\boxed{\text{ノ}}$であり，${\log }_{k}2$の小数第$1$位の数字が$2$となる$k$の値のうち最小のものは$\boxed{\text{ハヒ}}$であることがわかる．

【２】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とし，$p>0$とする．関数$f(x)=p{x}^3+qx$は$x=1$で極値をとるとする．曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$直線$y=-x+r$を$l$とする．

(1)　$f^{\prime }(1)=\boxed{\text{ア}}$であるから，$q=\boxed{\text{イウ}}p$である．また，点$(s,f(s))$における曲線$C$の接線は

$y=(\boxed{\text{エ}}p{s}^2-\boxed{\text{オ}}p)x-\boxed{\text{カ}}p{s}^3$$\cdots \text{①}$

と表せる．よって，$C$の接線の傾きは，$s=\boxed{\text{キ}}$のとき最小値$\boxed{\text{クケ}}p$をとる．

(2)　曲線$C$と直線$y=-x$の共有点の個数は，$\boxed{\text{クケ}}p\geqq \boxed{\text{コサ}}$のとき$\boxed{\text{シ}}$個で，$\boxed{\text{クケ}}p<\boxed{\text{コサ}}$のとき$\boxed{\text{ス}}$個となる．

　$C$と直線$l$の共有点の個数が，$r$の値によらず$\boxed{\text{セ}}$個となるのは$0<p\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときであり，$p>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときは$C$と$l$の共有点の個数が，$r$の値によって$1$個，$2$個および$3$個の場合がある．

(3)　$p>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$とし，曲線$C$と直線$l$が$3$個の共有点をもつような$r$の値の範囲を$p$を用いて表そう．点$(s,f(s))$における$C$の接線の傾きが$-1$となるのは$s=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}p-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}p}}}$のときである．したがって，傾きが$-1$となる$C$の接線は$2$本あり，$l$がこれらの接線のどちらかに一致するとき，$C$と$l$の共有点は$\boxed{\text{ト}}$個となる．$\text{①}$を用いて，これら$2$本の接線と$y$軸との交点を求めれば，$C$と$l$が$3$個の共有点をもつような$r$の絶対値の範囲は

$\left|r\right|<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}p-\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}p-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}p}}}$

であることがわかる．

(4)　$u$を$1$以上の実数とする．$t$が$t>u$の範囲を動くとき，曲線$y=x^2-1$と$x$軸および$2$直線$x=u\text{，}$$x=t$で囲まれた図形の面積が$f(t)$とつねに等しいとする．このとき，$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$であり，$u=\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$となる．

【３】

〔１〕　$\cos 15\mathrm{°}\text{，}$$\sin 15\mathrm{°}\text{，}$$\tan 15\mathrm{°}$の値を求めよう．

　加法定理を用いると

$\cos 15\mathrm{°}=\boxed{\text{ア}}\cos 30\mathrm{°}+\sin 45\mathrm{°}\boxed{\text{イ}}$

となる．$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

• $\overline{)\text{0}}$　$\sin 30\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\sin (-30\mathrm{°})$
• $\overline{)\text{2}}$　$\sin (-45\mathrm{°})$
• $\overline{)\text{3}}$　$\cos 30\mathrm{°}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\cos 45\mathrm{°}$

　よって

$\cos 15\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}$と$\boxed{\text{エ}}$は解答の順序を問わない．

　また

$\sin 15\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

$\tan 15\mathrm{°}=\boxed{\text{ケ}}-\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．

【３】

〔２〕　$\theta$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，関数$y=3{\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$の最大値と最小値を求めよう．

　$x={\sin }^2\theta$とおくと，$x$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{サ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$であり，$y=\boxed{\text{ス}}{x}^2-\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}}$となる．

　$\boxed{\text{サ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{シ}}$の範囲で，$\boxed{\text{ス}}{x}^2-\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソ}}$は$x=\boxed{\text{タ}}$のとき最大値$\boxed{\text{チ}}$をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$をとる．

　よって，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$の範囲で，$y=3{\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$は$\theta =\boxed{\text{ニヌ}}\mathrm{°}$のとき最大値$\boxed{\text{チ}}$をとり，$\theta =\boxed{\text{ネノ}}\mathrm{°}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$をとる．

【４】　$k$を実数として，$x$の整式$P(x)$を

$P(x)=x^3+k{x}^2+(2k+1)x+k+2$

とする．$3$次方程式$P(x)=0$は一つの実数解と異なる二つの虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．

(1)　どのような$k$の値に対しても$P(-\boxed{\text{ア}})=0$であるから，因数定理により

$P(x)=(x+\boxed{\text{ア}})\{x^2+(k-\boxed{\text{イ}})x+k+\boxed{\text{ウ}}\}$

が成り立つ．以下，$Q(x)=x^2+(k-\boxed{\text{イ}})x+k+\boxed{\text{ウ}}$とする．

　$2$次方程式$Q(x)=0$は異なる二つの虚数解をもつので，$k$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{エオ}}<k<\boxed{\text{カ}}$である．

　$\alpha \text{，}$$\beta$は$Q(x)=0$の解であるので，解と係数の関係により，${\alpha }^2+{\beta }^2$は$k$を用いて

${\alpha }^2+{\beta }^2=k^2-\boxed{\text{キ}}k-\boxed{\text{ク}}$

と表される．したがって，${\alpha }^2+{\beta }^2$は$k=\boxed{\text{ケ}}$で最小値$\boxed{\text{コサ}}$をとることがわかる．また，$k=\boxed{\text{ケ}}$のとき

${\alpha }^2{\beta }^2=\boxed{\text{シス}}\text{，}$${\alpha }^4+{\beta }^4=\boxed{\text{セソ}}$

である．

(2)　$k=\boxed{\text{ケ}}$のとき，$P(x)=0$の異なる二つの虚数解は

${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{タ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{チツ}}}i}{2}}$

である．以下

$\alpha ={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{タ}}+\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}i}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{タ}}-\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}i}{2}}$

とし，$X=\alpha +\beta i\text{，}$$Y=\alpha -\beta i$とする．

　$X^4+Y^4$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表そう．$X^4\text{，}$$Y^4$のそれぞれに，二項定理を用いて整理すると

$X^4+Y^4=\boxed{\text{テ}}({\alpha }^4+{\beta }^4)-\boxed{\text{トナ}}{\alpha }^2{\beta }^2$

となる．

　このとき，${\alpha }^2{\beta }^2=\boxed{\text{シス}}\text{，}$${\alpha }^4+{\beta }^4=\boxed{\text{セソ}}$であるから，$X^4+Y^4$の値は$\boxed{\text{ニヌネノ}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=-5\text{，}$$n{a}_{n+1}=(n+2)a_n+4(n+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めよう．

　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n(n+1)}}$とおくと，$b_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．さらに，$b_n$と$b_{n+1}$は関係式$b_{n+1}-b_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{n(n+\boxed{\text{オ}})}}$を満たす．

　ここで，すべての自然数$k$に対して

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{k(k+\boxed{\text{オ}})}}=\boxed{\text{カ}}({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+\boxed{\text{オ}}}})$

が成り立つから，$2$以上の自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{k(k+\boxed{\text{オ}})}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}{n}^2-n-\boxed{\text{ク}}}{n(n+\boxed{\text{ケ}})}}$

である．これを用いて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより

$a_n={\displaystyle \frac{n^2-\boxed{\text{コ}}n-\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

であることがわかる．

(2)　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=n(\boxed{\text{シ}}{a}_n-24)$

で与えられるとき，$\{c_n\}$の一般項と，$c_1$から$c_{10}$までの各項の絶対値の和${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}\left|c_n\right|$を求めよう．

　$c_1=\boxed{\text{スセソ}}$である．また，$n\geqq 2$のとき

$c_n=(n+\boxed{\text{タ}})(\boxed{\text{チ}}n-\boxed{\text{ツテ}})$$\cdots \text{①}$

である．$\text{①}$は$n=1$のときにも成り立つから，$\{c_n\}$の一般項は$\text{①}$である．

　$\text{①}$から，$1\leqq n\leqq \boxed{\text{ト}}$のとき$c_n<0$であり，$n>\boxed{\text{ト}}$のとき$c_n>0$である．よって

${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}\left|c_n\right|=\boxed{\text{ナニ}}{S}_{\boxed{\text{ト}}}+S_{10}=\boxed{\text{ヌネノ}}$

である．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{P}$$(0,6,3)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(4,-2,-5)\text{，}$$\mathrm{R}$$(12,0,-3)$がある．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上で$\mathrm{\angle POQ}$の二等分線$l$を考える．$l$上に点$\mathrm{A}$を，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=9$かつ$x$座標が正であるようにとる．また，$\alpha$上に点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{HR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{HR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$であるようにとる．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$であるから，$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}})$であることがわかる．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{HR}$の長さを求めよう．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{n}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp \overrightarrow{n}$であるベクトル$\overrightarrow{n}=(2,\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}})$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{HR}}=k\overrightarrow{n}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-k\overrightarrow{n}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{n}=\boxed{\text{シ}}$であるから，$k=\boxed{\text{ス}}$である．したがって，$\mathrm{H}$の座標は$(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タチ}})$であり，$\mathrm{HR}$の長さは$\boxed{\text{ツ}}$である．

(3)　平面$\alpha$上で点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．点$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，線分$\mathrm{RB}$の長さの最大値と，そのときの$\mathrm{B}$の座標を求めよう．

　$\mathrm{A}$と$\mathrm{H}$の間の距離は$\boxed{\text{テ}}$である．よって，$\mathrm{RB}$の長さの最大値は$\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}$である．また，$\mathrm{RB}$の長さが最大となる$\mathrm{B}$は$\overrightarrow{\mathrm{HB}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を満たすから，求める$\mathrm{B}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒフ}}}{\boxed{\text{ハ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘホ}}}{\boxed{\text{ハ}}}})$

である．

【５】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　全国規模の検定試験が毎年度行われており，この試験の満点は$200$点で，点数が$100$点以上の人が合格となる．今年度行われた第$1$回目の試験と第$2$回目の試験について考える．

(1)　第$1$回目の試験については，受験者全体での平均点が$95$点，標準偏差が$20$点であることだけが公表されている．受験者全体での点数の分布を正規分布とみなして，この試験の合格率を求めよう．試験の点数を表す確率変数を$X$としたとき，$Z={\displaystyle \frac{X-\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$が標準正規分布に従うことを利用すると

$P(X\geqq 100)=P(Z\geqq \boxed{\text{オ}}.\boxed{\text{カキ}})$

により，合格率は$\boxed{\text{クケ}}\mathrm{\%}$である．

　また，点数が受験者全体の上位$10\mathrm{\%}$の中に入る受験者の最低点はおよそ$\boxed{\text{コ}}$である．$\boxed{\text{コ}}$に当てはまる最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$116$点
• $\overline{)\text{1}}$　$121$点
• $\overline{)\text{2}}$　$126$点
• $\overline{)\text{3}}$　$129$点
• $\overline{)\text{4}}$　$134$点
• $\overline{)\text{5}}$　$142$点

(2)　第$1$回目の試験の受験者全体から無作為に$19$名を選んだとき，その中で点数が受験者全体の上位$10\mathrm{\%}$に入る人数を表す確率変数を$Y$とする．

　$Y$の分布を二項分布とみなすと，$Y$の期待値は$\boxed{\text{サ}}.\boxed{\text{シ}}\text{，}$分散は$\boxed{\text{ス}}.\boxed{\text{セソ}}$である．

　また，$Y=1$となる確率を$p_1\text{，}$$Y=2$となる確率を$p_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{p_1}{p_2}}=\boxed{\text{タ}}$である．$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

(3)　第$2$回目の試験の受験者全体の平均点と標準偏差はまだ公表されていない．第$2$回目の試験の受験者全体を母集団としたときの母平均$m$を推定するため，この受験者から無作為に抽出された$96$名の点数を調べたところ，標本平均の値は$99$点であった．

　母標準偏差の値を第$1$回目の試験と同じ$20$点であるとすると，標本平均の分布が正規分布で近似できることを用いて，$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は

$\boxed{\text{チツ}}\leqq m\leqq \boxed{\text{テトナ}}$

となり，この信頼区間の幅は$\boxed{\text{ニ}}$である．ただし，$\sqrt{6}=2.45$とする．

　また，母標準偏差の値が$15$点であるとすると，$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間の幅は$\boxed{\text{ヌ}}$となる．