2019　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$a$は正の整数，$p$と$q$は実数で$p>0$とする．座標平面上に放物線$C$を

$y=x^2-4ax+4a^2-3a+4$

で定める．放物線$C$が$x$軸と共有点を持たず，点$(1,-2)$を通る直線$y=px+q$と接するとき，$(a,p,q)=\boxed{\text{(a)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2\sin \theta +|2\cos \theta -1|$の最大値$M$および最小値$m$を求めると，$(M,m)=\boxed{\text{(b)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　漸化式

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={a_n}^2$

で定められる数列$\{a_n\}$を考える．このとき，$a_{10}$を十進法で表すと$\boxed{\text{(c)}}$桁の数となる．必要があれば，$0.301<{\log }_{10}2<0.302$を用いよ．

【２】　数列$\{a_n\}$に対し，$S_n$を

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$

で定める．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し$S_n=2a_n+n$が成り立つとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1$および$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$3$円切手と$5$円切手を何枚かずつ使って，ちょうど$2019$円分の金額にする枚数の組み合わせは全部で$\boxed{\text{(ア)}}$通りある．ただし，一方の切手を全く使わなくてもよいものとする．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$1\leqq a<b\leqq 20$を満たす整数$a\text{，}$$b$のうち，$a+b$が$4$の倍数となるような$(a,b)$の組は全部で$\boxed{\text{(イ)}}$通りある．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$x$と$y$は実数で$y>0$とする．座標平面に点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$$(6,0)$および点$\mathrm{B}$$(x,y)$を取る．辺$\mathrm{OB}$の長さが$5\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さが$9$のとき，$(x,y)=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【４】　$a$を実数の定数とする．$x^2+y^2=1$のうち$y\geqq 0$の部分が表す曲線を$C\text{，}$$y=a(x^2-x)$が表す放物線を$P$とする．また，点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$を取る．放物線$P$が点$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$と放物線$P$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　放物線$P$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$0<x<1$のとき，不等式

$-\log (1-x)<{\displaystyle \frac{x}{1-x}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

が成り立つことを証明せよ．ただし，対数は自然対数とする．