2019　山形大学　前期MathJax

【１】　$3$個のさいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を同時に投げる．それぞれのさいころの出る目を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$3$個のさいころの出る目すべてが奇数になる確率を求めよ．

(2)　出る目の積$abc$が偶数または$3$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　出る目の積$abc$が偶数であったとき，出る目の和$a+b+c$が奇数になる条件付き確率を求めよ．

(4)　座標空間上の$4$点$(0,0,0)\text{，}$$(a,0,0)\text{，}$$(0,b,0)\text{，}$$(0,0,c)$を頂点とする三角錐の体積を$V$とする．

(ⅰ)　$V$が自然数になる確率を求めよ．

(ⅱ)　$V$が自然数かつ$V>12$になる確率を求めよ．

【２】　関数$y=2(x+1)$のグラフを$L\text{，}$関数$y=|x^2-x-2|$のグラフを$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C$は$x$軸と$2$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$x_1\text{，}$$x_2$を求めよ．ただし，$x_1<x_2$とする．

(2)　直線$L$と曲線$C$は$3$つの共有点をもつ．共有点の$x$座標$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を求めよ．ただし，$\alpha <\beta <\gamma$とする．

(3)　$\alpha \leqq x\leqq \beta$の範囲において，直線$L$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．

(4)　$\beta \leqq x\leqq \gamma$の範囲において，直線$L$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S_2$を求めよ．

【３】　座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を

$\mathrm{A}(4,{\displaystyle \frac{16}{3}},0)\text{，}$$\mathrm{B}(-4,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,c)$

とする．ただし，$c>0$とする．$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{BO}$を$1:2$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{AF}$と線分$\mathrm{DE}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OE}$と線分$\mathrm{DF}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{CQ}$の中点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{CP}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\text{．}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|\text{．}$内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が垂直であるとき，$c$の値を求めよ．

【４】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．正の偶数の列を

$2|4,6,8|10,12,14,16,18|20,\cdots$

のように群に分ける．ただし，第$n$群には$(2n-1)$個の数が入るものとする．第$n$群の最後の数を$a_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_4$を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$で表せ．

(3)　第$5$群の最初から$2$番目の数を求めよ．

(4)　第$n$群の最初から$m$番目の数を$m$と$n$を用いて表せ．

(5)　$300$は第何群の何番目の数であるかを求めよ．

(6)　$k$を自然数とし，第$(k+1)$群の最初から$k$番目の数を$b_k$とする．

(ⅰ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}$を求めよ．

【５】　$e$は自然対数の底とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$を実数とする．定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{t}^{a-1}\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_1^e}{t}^{x-1}\mathit{dt}$について，$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．ただし，$e^x>x$を用いてもよい．

(3)　関数$g(x)=(x-1)e^x+1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$について，$g^{\prime }(x)>0$となる$x$の範囲をすべて求めよ．また，$g(x)>0$となる$x$の範囲をすべて求めよ．

(4)　曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=-1\text{，}$$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(5)　関数$f(x)-{\displaystyle \frac{x}{2}}$が極値をもつかを調べ，極値をもたない場合は，その理由を述べよ．極値をもつ場合は，その極値をすべて求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【６】　$a$と$b$を互いに異なる正の定数とする．双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-a,0)$とする．$x_1$を$\left|x_1\right|>a$を満たす実数とし，双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$と直線$x=x_1$との交点を$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x_1,-y_1)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　実数$x_1\text{，}$$y_1$を用いて，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点$\mathrm{R}$の座標を表せ．

(2)　(1)で求めた交点$\mathrm{R}$$(x,y)$の軌跡を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$を極とし，$x$軸の正の部分を始線とする極座標を$(r,\varphi )$とする．(2)で求めた軌跡を極座標$(r,\varphi )$を用いて表せ．

(4)　(2)で求めた軌跡が表す図形を$L$とする．図形$L$を，原点を中心にして反時計回りに角度$\theta$だけ回転させた図形を$L(\theta )$とする．ただし，$0<\theta <\pi$とする．図形$L$と図形$L(\theta )$の交点の個数を$n$とするとき，これら$n$個の交点の極座標を，定数$a\text{，}$$b$および角度$\theta$を用いて表せ．

(5)　(4)で求めた図形$L$と図形$L(\theta )$の$n$個の交点を${\mathrm{V}}_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{V}}_n$とし，それらの極座標を${\mathrm{V}}_1(r_1,{\varphi }_1)\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{V}}_n$$(r_n,{\varphi }_n)$とする．ただし，$r_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$r_n$は正の数とし，$0\leqq {\varphi }_1<\cdots <{\varphi }_n<2\pi$とする．角度$\theta$を$0<\theta <\pi$の範囲で動かしたとき，$n$角形${\mathrm{V}}_1\cdots {\mathrm{V}}_n$の面積の最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}$の和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　複素数${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{2}}\right)}^{-27}$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$(1+{\displaystyle \frac{1}{m}})(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})={\displaystyle \frac{4}{3}}$および$m<n$を満たす自然数$m\text{，}$$n$の組をすべて求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=({\displaystyle \frac{2}{3}}t-1)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{t}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}={\displaystyle \frac{2}{3}}t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+({\displaystyle \frac{t}{3}}-1)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示せ．

(3)　$S={\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right|}^2$とおく．

(ⅰ)　$S$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=0\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{17}{6}}\text{，}$$3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=4+{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義し，数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を

$b_n=a_{n+1}-a_n\text{，}$$c_n=b_n-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}-2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3b_{n+1}-b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　数列$\{c_n\}$が等比数列であることを示し，その一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して

${\displaystyle {\int }_{x-1}^{x+1}}f(t)\mathit{dt}=x^3$

を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，以下で用いる$n$は自然数とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_{x-1}^{x+2n-1}}f(t)\mathit{dt}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\{x+2(k-1)\}}^3$を示せ．

(2)(ⅰ)　$f(x+1)-f(x-1)=3x^2$を示せ．

(ⅱ)　$f(x)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(2k-1)}^3$を$n$の式で表せ．