2019　茨城大学　前期MathJax

【１】　$x$の整式$P(x)$は，$x+2$で割ると$1$余り，$(x-1)(x-4)$で割ると$-3x+85$余るという．$P(x)$を$(x+2)(x-1)(x-4)$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R(x)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$R(x)$を求めよ．

(2)　$x$が$1\leqq x\leqq 3$を満たしながら動くとき，$R(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(3)　$Q(x)=x-2$のとき，$P(2-\sqrt{3}i)$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　$a$を定数とする．方程式

${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}-5\cdot 2^{x-1}+a\cdot 2^{-x}=-2\cdots$(＊)

について，次の各問に答えよ．

(1)　$t=2^x$とおいて，(＊)を$t$についての方程式で表せ．

(2)　(＊)が異なる$3$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．数列$\left\{{\displaystyle \frac{S_n}{n}}\right\}$は初項が$-1\text{，}$公差が正の数である等差数列で，ある連続する$3$つの項の和は$33\text{，}$積は$1232$であるという．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$b_n=3^n{a}_n\text{，}$$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とするとき，$T_n$を$n$を用いて表せ．

【４】　$1$個のさいころを$3$回続けて投げ，$1$回目に出た目を$a\text{，}$$2$回目に出た目を$b\text{，}$$3$回目に出た目を$c$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる確率を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{c}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})\leqq {\displaystyle \frac{1}{12}}$となる確率を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{c}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})\leqq {\displaystyle \frac{1}{12}}$であったとき，$a=b$である確率を求めよ．

【１】　$x$を正の実数とする．四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{AB}=2x$

とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ．

(3)　$x$が(1)の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

【２】　$t$を正の実数とする．座標平面において，曲線$y=x^2$を$C$とする．また，円$D$は，中心が第$1$象限にあり，$x$軸に接し，曲線$C$とただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$をもつとする．円$D$の中心の座標を$(a(t),b(t))$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．

(2)　$a(t)$と$b(t)$を求めよ．

(3)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b(t)}{a(t)}}$を求めよ．

(4)　$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{b(t)}{ta(t)}}$を求めよ．

【３】　座標平面において，曲線$y=\log {\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とおく．原点から曲線$C$に引いた接線を$l$とする．以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸および接線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　$h>0$とする．曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸および直線$y=h$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(h)$とする．$V(h)$と$\underset{h\to \infty }{\lim }V(h)$を求めよ．

(4)　$n$を自然数とする．曲線$C$と$y$軸および$2$直線$y=n-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$y=n$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$a_n$とする．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　次の極限を調べよ．

• (ⅰ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3^{x-1}+4^{x+1}}{2^{x+1}-4^{x-1}}}$
• (ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{x-1}})}^{3x}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3}{x+1}}$の$x=2$における微分係数$f^{\prime }(2)$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(3)　次の定積分を求めよ．

• (ⅰ)　${\displaystyle {\int }_{\log 2}^{\log 8}}\sqrt{e^x}\mathit{dx}$
• (ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^2}x\sin \pi x\mathit{dx}$

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　方程式$z^2=1+\sqrt{3}i$を解け．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　座標平面において，点$\mathrm{P}$$(0,5)$から楕円$C\text{：}{x}^2+4y^2=4$に引いた接線のうち，傾きが正のものを$l$とする．また，$C$と$l$の接点を$\mathrm{Q}$とする．接線$l$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　$a$を実数の定数とする．

(ⅰ)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$のグラフをかけ．

(ⅱ)　不等式${\displaystyle \frac{1}{x-2}}\geqq a$を解け．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　$8$個の値$13\text{，}$$11\text{，}$$9\text{，}$$15\text{，}$$6\text{，}$$9\text{，}$$16\text{，}$$x$からなるデータの平均値が$11.5$であるとする．このときの$x$の値と，このデータの中央値を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(2)　関数$f(x)=4x^3-9x^2-12x$の極値を調べよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(3)　$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて，次の命題を証明せよ．

命題：${\displaystyle \frac{1}{3-\sqrt{2}}}$は無理数である．

【４】　$r$を$-1$でも$0$でもない実数の定数とする．数列$\{a_n\}$を初項が$8\text{，}$公比が$r$の等比数列とし，数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$で定められる数列とする．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を$n$と$r$を用いて表せ．

(2)　$a_6=-{\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}$となるような$r$を求めよ．

(3)　$S_3<{\displaystyle \frac{13}{2}}$を満たす$r$の範囲を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{S_4}{T_4}}=27$となるような$r$を求めよ．