2019　茨城大学　後期MathJax

【１】　$k$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x^2}$と$g(x)=k-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$について，以下の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【２】　$n$を自然数とする．

【３】　$n$を自然数とする．数直線上に相異なる$3$つの定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．点$\mathrm{P}$は，はじめは点$\mathrm{A}$にあるとする．この点$\mathrm{P}$を次の規則(ア)と(イ)に従って，$3$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の間を動かす操作を繰り返す．

【４】　$n$を自然数とする．$1$から$n$までのすべての自然数を重複なく使ってできる数列を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$で表す．以下の各問に答えよ．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-2}{e^x+3}}$で定める．

(ⅰ)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\boxed{\text{(あ)}}$であり，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\boxed{\text{(い)}}$である．

(ⅱ)　$f(x)$の逆関数は$f^{-1}(x)=\boxed{\text{(う)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(2)　$2$つの関数$g(x)\text{，}$$h(x)$を，$g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}$$h(x)=\sin x$で定める．

(ⅰ)　$g(h(x))=\boxed{\text{(え)}}$であり，その導関数は${\{g(h(x))\}}^{\prime }=\boxed{\text{(お)}}$である．

(ⅱ)　$h(g(x))=\boxed{\text{(か)}}$であり，その導関数は${\{h(g(x))\}}^{\prime }=\boxed{\text{(き)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(3)　次の定積分の値を求めよ．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(4)　$2$つの定積分をそれぞれ$P={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}{e}^{-x^2}\mathit{dx}\text{，}$$Q={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-2x^2}\mathit{dx}$とおく．このとき，${\displaystyle \frac{P}{Q}}=\boxed{\text{(き)}}$である．

【１】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(5)　方程式$\sqrt{2x+2}=x-3$の解は，$x=\boxed{\text{(し)}}$である．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの辺の長さが$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=13$であるとする．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(2)　右の図は，ある高校の$1$年生$80$人に行った数学のテストの得点を，箱ひげ図に表したものである．次の$\text{①}$から$\text{④}$のうち，この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものをすべて選ぶと，$\boxed{\text{(イ)}}$である．あてはまるものすべてを，解答用紙の指定の欄の枠内に記入しなさい．

$\text{①}$　得点の四分位範囲は$30$点以上である．

$\text{②}$　$60$点以上の生徒は$40$人以上いる．

$\text{③}$　$20$点台の生徒はいない．

$\text{④}$　$40$点以上$60$点未満の生徒は$20$人以下である．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(3)　初項$2\text{，}$公差$3$の等差数列を$\{a_n\}$とすると，$a_{49}+a_{51}=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(4)　$n$を自然数とする．$100\leqq {1.2}^n\leqq 1000$となるような$n$の個数は$\boxed{\text{(エ)}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(5)　図のような直方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(6)　ある観光バスの乗客の年齢と性別を調べたところ，乗客全体の$40\mathrm{\%}$が$50$歳以上であり，$60\mathrm{\%}$が$50$歳未満であった．$50$歳以上の乗客のうち，$70\mathrm{\%}$が男性であり，$30\mathrm{\%}$が女性であった．また，$50$歳未満の乗客のうち，$60\mathrm{\%}$が男性であり，$40\mathrm{\%}$が女性であった．この乗客の中から無作為に一人を選んだところ，男性であった．この乗客が$50$歳以上である確率は，$\boxed{\text{(カ)}}$である．

【２】　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(7)　$x$を正の実数とし，$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}=A$とおく．$x^3-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=-4$であるとき，$A=\boxed{\text{(キ)}}$であり，$x=\boxed{\text{(ク)}}$である．