2019　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

$\alpha =1+z+z^2+z^3+z^4\text{，}$$\beta =z^2+z^3\text{，}$$\gamma =z+z^4$

とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$z^5$の値を求め，$\alpha z=\alpha$となることを示せ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta +\gamma \text{，}$$\beta \gamma$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$\beta$と$\gamma$の値をそれぞれ求めよ．

$f(x)=x^2{(\log x)}^p$$\text{（}x>1\text{），}$$g_k(t)=2t^2+3kt+k(k-1)\text{（}t>0\text{）}$

について，以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$を計算し，$f^{″}(x)={(\log x)}^{p-2}{g}_p(\log x)$であることを確かめよ．

(3)　$t>0$の範囲で常に$g_k(t)>0$であるために，$k$が満たすべき条件を求めよ．

(4)　$x>1$の範囲で常に$f^{\prime }(x)>0$かつ$f^{″}(x)>0$であるために，$p$が満たすべき条件を求めよ．

(1)　逆関数$y=f^{-1}(x)$とその定義域を求めよ．

次に，$2$つの曲線$C\text{：}y=f(x)$と$C^{\prime }\text{：}y=f^{-1}(x)$を考える．

(2)　$C$と$C^{\prime }$の交点の座標を求めよ．

(3)　$C$と$C^{\prime }$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(4)　直線$y=x$と$C^{\prime }$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．