2019　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　$1$から$8$までの番号をつけた$8$枚のカードが袋の中に入っている．袋の中からカードを$1$枚取り出してもとに戻すという操作を$4$回繰り返し，$1$回目，$2$回目，$3$回目，$4$回目に取り出されたカードの番号をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　積$abcd$が奇数となる確率$P_1$を求めよ．

問２　$(a-1)(b-2)(c-3)(d-4)\ne 0$となる確率$P_2$を求めよ．

問３　$a+b+c+d=7$となる確率$P_3$を求めよ．

問４　$(a-1)(b-2)+cd=0$となる確率$P_4$を求めよ．

(編注）2012年　山形大前期医学部【１】を改変して活用

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{F}$とする．また，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さを$s\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さを$t\text{，}$角$\mathrm{BAC}$の大きさを$\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問３　線分$\mathrm{AP}$の長さを$s\text{，}$$t\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

問４　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心（外接円の中心）であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は等差数列であり，初項$a_1=3\text{，}$第$10$項$a_{10}=57$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　数列$\{a_n\}$の公差$d$を求めよ．

問２　数列$\{a_n\}$の初項から第$10$項までの和$T$を求めよ．

問３　$f(x)=2^x$とし，$b_k=f(a_k)$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を$n$の式で表せ．

問４　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k)}^2$とするとき，$S_n$を$n$の式で表せ．

問５　問４で定めた$S_n$について，${\displaystyle \frac{S_n}{n}}\geqq 1500$となる最小の$n$を求めよ．

【４】　関数$f(x)={(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})}^3-(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$について，次の問いに答えよ．

問１　方程式$f(x)=0$を解け．

問２　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求め，方程式$f^{\prime }(x)=0$を解け．

問３　$f(x)$の極値を求め，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

問４　区間$t-1\leqq x\leqq t$でとる$f(x)$の最大値は$t$の関数である．その関数を$F(t)$とするとき，関数$y=F(t)$のグラフの概形をかけ．

【５】　関数$f(x)=x+2\cos x\text{，}$および曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の問いに答えよ．

問１　曲線$C_0\text{：}y=f(x)$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の概形をかけ．

問２　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$における接線$l$の方程式を求めよ．ただし，$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

問３　問１で定めた曲線$C_0$と問２で定めた接線$l\text{，}$および$2$直線$x=0\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

問４　問３で定めた面積$S$の最小値を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x\log x}}$$\text{（}x>1\text{）}$は，常に単調に減少することを示せ．

問２　$n$を$2$以上の自然数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_n^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{x\log x}}\mathit{dx}$を求めよ．

問３　問１と問２の結果を利用して

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n\log n}}=\infty$

を証明せよ．

志望別問題選択一覧

地域デザイン科（コミュニティデザイン学科），教育（学校教育・特別支援教育系，教科文系，教科理系）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

地域デザイン科（建築都市デザイン，社会基盤デザイン学科）学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

工学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

農（生物資源科，農業環境工，農業経済，森林科学科）学部　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】