2019　千葉大学　前期MathJax

【１】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において

$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CD}=4\text{，}$$\mathrm{DA}=2$

とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．

(1)　三角形$\mathrm{APB}$の外接円の半径を$R_1\text{，}$三角形$\mathrm{APD}$の外接円の半径を$R_2$とするとき，${\displaystyle \frac{R_1}{R_2}}$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【２】　次の関数のグラフに関する以下の問いに答えよ．ただし，$m$は実数とする．

$y=|x^2-2mx|-m$

(1)　$m=1$のときのグラフの概形をかけ．

(2)　グラフと$x$ 軸の共有点の個数を求めよ．

【３】　正の約数の個数がちょうど$m$個であるような，$1900$以上の自然数の中で最小のものを$d_m$とする．

(1)　$d_5$を求めよ．

(2)　$d_{15}$を求めよ．

【４】　コインが$5$枚ある．さいころを振って出た目によって，これらのコインを$1$枚ずつ$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれかに入れていく．出た目が$1$であればコインを$1$枚，箱$\mathrm{A}$に入れる．出た目が$2$か$3$であればコインを$1$枚，箱$\mathrm{B}$に入れる．出た目が$4$か$5$か$6$であればコインを$1$枚，箱$\mathrm{C}$に入れる．さいころを$5$回振ったとき，次の問いに答えよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$にコインがそれぞれちょうど$2$枚ずつ入っている確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$いずれの箱にもコインが$1$枚以上入っている確率を求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{\angle A}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=60\mathrm{°}$である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に引いた垂線と$\mathrm{BC}$が交わる点を$\mathrm{D}$とし，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$が交わる点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{CE}$と直線$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【６】　$a$は$0$でない実数とし，$f(x)=a{x}^3+3a{x}^2+3x+3$とおく．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフ$C$と導関数$y=f^{\prime }(x)$のグラフ$C^{\prime }$が相異なる$3$点で交わるような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)の範囲にあるとき$C$と$C^{\prime }$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

【７】　$a_1=3\text{，}$$a_2=2$とし，$n\geqq 2$のとき，

$a_{n+1}={a_n}^2+a_n-1$

として数列$\{a_n\}$を定める．

(1)　$n\geqq 2$のとき$a_{n+1}=a_1{a}_2\cdots a_n-1$が成り立つことを証明せよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a_i}^2=a_1{a}_2\cdots a_n+100$が成り立つような自然数$n$を求めよ．

【８】　三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=2\mathrm{BC}$を満たしている．また，角$\mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}=15$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$4$である．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta =\mathrm{\angle BAD}$とするとき$\sin \theta$の値を求めよ．また，$A=\mathrm{\angle BAC}$とするとき，$\sin A$と$\cos A$の値を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【９】　コインが$5$枚ある．さいころを振って出た目によって，これらのコインを$1$枚ずつ$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれかに入れていく．出た目が$1$であればコインを$1$枚，箱$\mathrm{A}$に入れる．出た目が$2$か$3$であればコインを$1$枚，箱$\mathrm{B}$に入れる．出た目が$4$か$5$か$6$であればコインを$1$枚，箱$\mathrm{C}$に入れる．さいころを$5$回振ったとき，次の問いに答えよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$にコインがそれぞれちょうど$2$枚ずつ入っている確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれの箱にもコインが$1$枚以上入っている確率を求めよ．

(3)　試行の後に箱$\mathrm{A}$を開けるとちょうど$2$枚のコインが入っていた．このとき箱$\mathrm{B}$にコインがちょうど$2$枚入っている確率を求めよ．

【10】　座標平面上の円$C$は，点$(0,0)$を通り，中心が直線$x+y=0$上にあり，さらに双曲線$xy=1$と接する．このとき，円$C$の方程式を求めよ．ただし，円と双曲線がある点で接するとは，その点における円の接線と双曲線の接線が一致することをいう．

【11】　$n$を正の整数とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\tan }^n\theta \mathit{d\theta }+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\tan }^{n+2}\theta \mathit{d\theta }$を$n$の式で表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\tan }^7\theta \mathit{d\theta }$を求めよ．

【12】　数直線上に動点$\mathrm{P}$があり，はじめに原点にあるとする．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対し，$k$回目にさいころを振ったとき，$1\text{，}$$2$の目が出たら$\mathrm{P}$は正の方向に${\displaystyle \frac{1}{2^k}}$だけ移動し，$3\text{，}$$4$が出たら負の方向に${\displaystyle \frac{1}{2^k}}$だけ移動し，$5\text{，}$$6$が出たら移動しないとする．$n$回さいころを振った後の点$\mathrm{P}$の座標を$X_n$とする．

(1)　$0<X_n$となる確率を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}<X_n}$となる確率を求めよ．

(3)　$l$は$n$未満の正の整数とする．このとき，${\displaystyle \frac{1}{2^l}}<X_n$となる確率を求めよ．

【13】　$a$は実数とする．座標平面上で連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ y\leqq (2a+3)x-a(a+3)\end{array}$

の表す領域を$D(a)$とおく．いま，$x$座標も$y$座標も整数であるような点を格子点と呼ぶことにする．

(1)　$n$を整数とする．このとき$D(n)$に含まれる格子点の個数を求めよ．

(2)　任意の実数$a$について，$D(a)$に含まれる格子点の個数と$D(a+1)$に含まれる格子点の個数は等しいことを示せ．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部(小学，特別支援，乳幼児，中学(技術，家庭科，英語)　

【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　国際教養学部，文学部(行動科学コース)，法政経学部，園芸学部(食料資源経済学科)，先進科学プログラム(植物生命科学，人間科学)

　　【３】，【４】，【５】，【６】

　教育学部（中学数学），先進科学プログラム(化学，生物)

　　【２】，【３】，【５】，【６】，【７】，【９】

数学I数学II数学III数学A数学B

理学部(物理，化学，生物，地球科学科)，工学部，園芸学部(園芸，応用生命化，緑地環境学科)，薬学部，先進科学プログラム(物理，工学)

　【７】，【８】，【９】，【10】，【11】

医学部

【７】，【８】，【11】，【12】，【13】

理学部（数学・情報数理学科）

【７】，【８】， 【10】，【11】，【12】，【13】