2019　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　以下の方程式を$x$について解きなさい．

(1)　$x^3-6x^2+11x-6=0$

(2)　$\sin 3x+\sin x=0$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

(3)　${\log }_3(x^2+2x-3)+{\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)=2$$\text{（}x>1\text{）}$

【２】　放物線$y=x^2$と直線$y=2ax+1$がある．以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの線が交わる点の$x$座標を求めなさい．

(2)　放物線と直線で囲まれる面積$S$を求めなさい．

(3)　(2)の面積$S$を$a$について微分しなさい．

【３】　原点$\mathrm{O}$から座標空間内の点$\mathrm{A}$$(1,1,0)$に引いた空間ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$点$\mathrm{B}$$(2,1,1)$に引いた空間ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を含む平面内の点で，点$\mathrm{C}$$(1,3,10)$にもっとも近い点の座標を求めなさい．

【４】　次の漸化式で表される数列$a_n$の一般項を求めなさい．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=7\\ a_{n+1}=3a_n-10\end{array}$

【５】　$2$つの点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,0)$からの距離が$2:1$である点$\mathrm{P}$が満たす方程式を求め，その軌跡を図示しなさい．

【６】　複素数${(\sqrt{3}+i)}^{10}$の実部，虚部，絶対値，および偏角$\theta$を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【７】　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めなさい．

$f(x)=x+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)\sin t\mathit{dt}$