2019　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=(2e-x)\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

について，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．

(ⅰ)　$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ)　不定積分$I={\displaystyle \int }x\log x\mathit{dx}$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}-2\cos 2x-1$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　区間$0<x<\pi$において，$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．

(ⅲ)　区間$0<x<\pi$における$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(ⅳ)　不定積分$I={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin x}}$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　双曲線$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{16}}-{\displaystyle \frac{y^2}{64}}=1$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$の$2$つの漸近線のうち，$C$上の点$(5,6)$との距離が小さい方の漸近線$l_1$の方程式を求めよ．さらに，$l_1$と点$(5,6)$との距離$d$を求めよ．

(ⅱ)　$C$上の点$(5,6)$における$C$の接線の傾きを求めよ．

(ⅲ)　$m$を実数とし，直線$l\text{：}2(m^2+1)x-(m^2-1)y=16m$を考える．

(ア)　直線$l$が点$(1,6)$を通るような$m$の値をすべて求めよ．

(イ)　$m$が実数全体を動くとき，直線$l$が通過する領域を$D$とする．領域$D$を表す不等式を求めよ．

(ウ)　直線$l$が$C$上の点$(x_1,y_1)$を通るとき，$m$を$x_1\text{，}$$y_1$の$1$次式で表せ．

【４】　$1$から$6$までの目が等しい確率で出るさいころがある．数直線上の点$\mathrm{P}$に対して，このさいころを投げるたびに，次の操作を行うものとする．

ⓐ　$1\text{，}$$3\text{，}$$5$の目が出たときは，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$2$動かす．

ⓑ　$6$の目が出たときは，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$動かす．

ⓒ　$2\text{，}$$4$の目が出たときには，点$\mathrm{P}$は動かさない．

以下の[Ⅰ]，[Ⅱ]の問いに答えよ．なお，$0$はすべての整数の倍数である．

[Ⅰ]　点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある状態から，さいころを投げて上の操作を行うことを$n$回繰り返した後の点$\mathrm{P}$の座標が，$2$の倍数である確率を$p_n$とする．

(ⅰ)　$p_1\text{，}$$p_2$を求めよ．

(ⅱ)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．さらに，$p_n$を$n$の式で表せ．

[Ⅱ]　点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある状態から，さいころを投げて上の操作を行うことを$n$回繰り返した後の点$\mathrm{P}$の座標が，$3$の倍数である確率を$q_n$とする．

(ⅲ)　$q_2$を求めよ．

(ⅳ)　$q_{n+2}$を$q_n$を用いて表せ．

(ⅴ)　$q_n$を求めよ．さらに，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めよ．