2019　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)=\log (1-x^2)+\log 2$$\text{（}-1\leqq x<1\text{）}$

について，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．

(ⅰ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の$x$座標をすべて求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ)　$0<t<1$に対して，次の定積分の値を$t$の式で表せ．

$I(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{1-x^2}}$

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$のうち，$x$軸の上側（$y\geqq 0$）にある部分の曲線の長さ$L$を求めよ．

[Ⅰ]　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とするとき，

(ⅰ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さ$L$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(ⅱ)　さらに，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の座標を$(x,y)$とするとき，$a+b\text{，}$$ab$をそれぞれ$x\text{，}$$y$の式で表せ．

[Ⅱ]　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$2$に保って，放物線上を動くとき，

(ⅲ)　点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$の形で求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた関数$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(ⅴ)　点$\mathrm{M}$の$y$座標を最小にする$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の組をすべて求めよ．

$f(t)=t(\pi -t)\text{，}$$g(t)=2\sin t-\sin 2t$

と定義する．座標平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて

$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

と表されるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$上で$x$座標が最大になる点を$\mathrm{A}\text{，}$$y$座標が最大になる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$に対応する曲線$C$上の点を$\mathrm{T}$とする．点$\mathrm{T}$の座標と，$\mathrm{T}$における$C$の接線の傾きを求めよ．

(ⅲ)　極限$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{g(t)}{f(t)}}$および$\underset{t\to \pi -0}{\lim }{\displaystyle \frac{g(t)}{f(t)}}$を求めよ．

(ⅳ)　$a$が$0$でない定数のとき，不定積分${\displaystyle \int }t\sin at\mathit{dt}$を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．

(ⅴ)　曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

ⓐ　確率$p$で$-z_n$  ⓑ　確率$q$で$i{z}_n$  ⓒ　確率$r$で${\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{2}}{z}_n$

という規則で決まるとする．ここで，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は$p+q+r=1$を満たす正の定数であり，$i$は虚数単位を表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$z_0\text{，}$$z_1$の絶対値$\left|z_0\right|\text{，}$$\left|z_1\right|$を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{z_1}{z_0}}$の偏角がとりうる値を求め，それぞれの値をとる確率を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．ただし，偏角がとりうる値は$0$以上$2\pi$未満の範囲で答えよ．

(ⅲ)　$|z_1-z_0|$がとりうる値を求め，それぞれの値をとる確率を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(ⅳ)　$z_5=1$となる確率を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(ⅴ)　$|z_4-z_0|=1$となる確率を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．