2019　一橋大学　前期MathJax

【１】　$p$を自然数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_2=p^2\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}-a_n+13\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．数列$\{a_n\}$に平方数でない項が存在することを示せ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{Q}$は円$x^2+y^2=1$上の$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$の部分を動く．点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{A}(2,2)$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　$f(x)=x^3-3x+2$とする．また，$\alpha$は$1$より大きい実数とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha ,f(\alpha ))$における接線と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線の中で傾きが最小のものを$l$とする．

(1)　$l$と$C$の接点の$x$座標を$\alpha$の式で表せ．

(2)　$\alpha =2$とする．$l$と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，点$(2,0)$を中心とする半径$2$の円$C_1$と，点$(1,0)$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．点$\mathrm{P}$を中心とする円$C_3$は$C_1$に内接し，かつ$C_2$に外接する．ただし，$\mathrm{P}$は$x$軸上にないものとする．$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【５】　右上の図のような縦$3$列横$3$列の$9$個のマスがある．異なる$3$個のマスを選び，それぞれに$1$枚ずつコインを置く．マスの選び方は，どれも同様に確からしいものとする．縦と横の各列について，点数を次のように定める．

・その列に置かれているコインが$1$枚以下のとき，$0$点

・その列に置かれているコインがちょうど$2$枚のとき，$1$点

・その列に置かれているコインが$3$枚のとき，$3$点

縦と横のすべての列の点数の合計を$S$とする．たとえば，右下の図のようにコインが置かれている場合，縦の$1$列目と横の$2$列目の点数が$1$点，他の列の点数が$0$点であるから，$S=2$となる．

(1)　$S=3$となる確率を求めよ．

(2)　$S=1$となる確率を求めよ．

(3)　$S=2$となる確率を求めよ．