2019　一橋大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を整数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が有理数の解をもつならば，その解は整数で，$b$の約数であることを示せ．

(2)　$n$を正の整数とする．$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$は無理数であることを示せ．

【２】　$f(x)$は$x$の$4$次式で，$x^4$の係数は$1$である．座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$は$2$点$(0,0)\text{，}$$(2,2)$を通り，これら$2$点での$C$の接線は同一の直線$l$である．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$l$と平行で，$l$と異なる直線$l^{\prime }$が$C$に接する．$l^{\prime }$の方程式を求めよ．

(3)　$l^{\prime }$と$C$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とし，$a_1$を実数とする．$1$枚のコインを$(n-1)$回投げる．$k$回目$\text{（}1\leqq k\leqq n-1\text{）}$に表が出れば$a_{k+1}=a_k+1\text{，}$裏が出れば$a_{k+1}={\displaystyle \frac{a_k}{k}}$として，実数$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を順に定める．

(1)　$a_1=1$のとき，$a_n$が整数となる確率$p_n$を$n$で表せ．

(2)　$a_1=3$のとき，$a_n$が整数となる確率$q_n$を$n$で表せ．

【４】　座標平面において，原点を中心とする半径$5$の円の周上または内部にある格子点（$x$座標も$y$座標も整数である点）の集合を$S$とする．集合$S$の部分集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{(a,b)\in S|\text{すべての整数}n\text{に対して}a{n}^2+(a^2+b)n\text{が偶数となる}\}$

$B=\{(a,b)\in S|\text{ある整数}n\text{が存在して}a{n}^2+(a^2+b)n\text{が奇数となる}\}$

と定める．

(1)　集合$A$の要素の個数を求めよ．

(2)　集合$B$の要素の個数を求めよ．

【５】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$$(x,y)$の時刻$t$における座標が

$x={\displaystyle \frac{e^t+e^{ｰt}}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{e^t-e^{ｰt}}{2}}$

で与えられている．原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分が時刻$t=0$から$t=s$$\text{（}s>0\text{）}$までに通過する部分の面積を$s$で表せ．

【６】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{2n}=a_n\text{，}$$a_{2n+1}=a_n+a_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$m$を$0$以上の整数とする．

(1)　$a_{2^m}$と$a_{2^m+1}$を求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の第$2^m$項から第$(2^{m+1}-1)$項までの和

${\displaystyle \sum _{k=2^m}^{2^{m+1}-1}}{a}_k=a_{2^m}+a_{2^m+1}+\cdots +a_{2^{m+1}-1}$

を$b_m$とする．$b_{m+1}$を$b_m$で表し，$\{b_m\}$の一般項を求めよ．