2019　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$4$回投げて，出る目を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とし，その積を$N=abcd$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$N=720$となる確率を求めよ．

(2)　$N=360$となる確率を求めよ．

(3)　$N>720$となる確率を求めよ．

【２】　$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,4)\text{，}$点$\mathrm{P}(p,-1)\text{，}$点$\mathrm{Q}(q,1)$がある．ただし，$0<p<q$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵APQ}$の面積$S$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵APQ}$が直角三角形になるための$p\text{，}q$の条件を求めよ．

(3)　$p\text{，}q$が(2)で求めた条件をみたすとき，直角三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$の最小値を求めよ．

【３】　$4$次方程式

$x^4+2x^2+16x+17=0\cdots$(＊)

を考える．虚数単位を$i$で表し，複素数$z$と共役な複素数を$\bar{z}$で表すものとする．$\alpha =\sqrt{2}+(1+\sqrt{2})i$として，以下の問に答えよ．

(1)　${\alpha }^2\text{，}{\alpha }^4$の実部と虚部をそれぞれ求めよ．

(2)　${\alpha }^4+2{\alpha }^2+16\alpha +17$の実部と虚部の値を求めよ．

(3)　$\alpha$と$\bar{\alpha }$が$2$次方程式$x^2+px+q=0$の解となるような実数$p\text{，}q$の値を求めよ．

(4)　$p\text{，}q$を(3)で求めた値とする．$x^4+2x^2+16x+17=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$となるような実数$r\text{，}s$の値を求めよ．

(5)　方程式(＊)のすべての解を求めよ．

【４】　以下の問に答えよ．

(1)　次の不等式を証明せよ．ただし，必要であれば，$2^{10}=1024\text{，}{2}^{13}=8192$を用いてよい．

${\displaystyle \frac{3}{10}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{4}{13}}$

(2)　(1)を用いて，$2^{100}$は何桁の数か答えよ．

(3)　${\log }_{10}2$が無理数であることを証明せよ．

【５】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}\mathrm{P}(t,t^2-2t^3)$がある．ただし，$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$\mathrm{▵OPA}$の重心を$\mathrm{G}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{GP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であるときの$t$の値を求めよ．

(3)　$4$次関数

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+x^3(1-2x)(0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}})$

を考える．$f(x)<0$であることを示せ．

(4)　$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$において，$\mathrm{\angle OPA}$が鈍角であることを示せ．

【４】　以下の問に答えよ．

(1)　方程式$32t^3-16t+1=0$は，$-1\leqq t\leqq 1$において$3$つの異なる実数解を持つことを示せ．

(2)　等式$\sin 4x=(4\sin x-8{\sin }^{3}x)\cos x$が成り立つことを示せ．

(3)　方程式$4\sin 4x+\sin x=0$の，$0\leqq x\leqq \pi$における解の個数を求めよ．

(4)　関数$f(x)=\cos 4x+\cos x$が極小となる$x$の値は，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲にいくつあるか．

【５】　関数

$f(x)=e^{-2x}(\cos x-3\sin x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)dx$の値を求めよ．