2019　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を$3$以上の整数，$x$を正の実数とする．このとき

(a)　不等式

${(1+x)}^n>1+nx+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{x}^2$

を証明せよ．

(b)　極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{{(1+x)}^n}}$

の収束，発散を調べ，収束するときにはその値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$3a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．

(a)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(b)　上で求めた$a_n$に対して，無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}n{a}_n$

の収束，発散を調べ，収束するときにはその和を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$x>\sin x$を証明せよ．

(2)　不等式

${\displaystyle \frac{1}{6}}<\sin 10\mathrm{°}<{\displaystyle \frac{\pi }{18}}$

を証明せよ．

【３】　関数$f(x)$はすべての実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して

$f(a)f(b-c)+f(b)f(c-a)+f(c)f(a-b)=0$

を満たすものと仮定する．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して$f(-x)=-f(x)$が成立することを証明せよ．

(2)　$0$以上のすべての整数$n\text{，}$および，すべての実数$x\text{，}$$y$に対して

$f\left({\displaystyle \frac{y}{2}}\right){\displaystyle \sum _{k=0}^n}f(x+ky)=f(x+{\displaystyle \frac{n}{2}}y)f({\displaystyle \frac{n+1}{2}}y)$

が成立することを証明せよ．

(3)　$f(x)$はすべての実数$x$で連続かつ$x=0$で微分可能で$f^{\prime }(0)=1$と仮定する．$f(x)$の原始関数の$1$つを$F(x)$とすれば，すべての実数$s\text{，}t$に対して

${\displaystyle \frac{F(t)-F(s)}{2}}=f\left({\displaystyle \frac{s+t}{2}}\right)f\left({\displaystyle \frac{t-s}{2}}\right)$

が成立することを証明せよ．

【４】　$A\text{，}$$B$を空でない事象とする．このとき，以下の$2$つの条件$p\text{，}$$q$が同値であることを証明せよ．

$p$：$\mathrm{A}\text{，}$$B$は独立である．

$q$：点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{Q}(P(A\cap B),P(A\cap \bar{B}))\text{，}$点$\mathrm{R}(P(\bar{A}\cap B),P(\bar{A}\cap \bar{B}))$は同一直線上にある．ただし，$P(A)$は事象$A$が起こる確率を表すものとする．