2019　三重大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とし，直線$y=2ax-a^2$を$l_a$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l_a$が点$(2,-5)$を通るときの$a$の値を求めよ．

(2)　どのような実数$a$を選んでも，$l_a$は点$(3,10)$を通らないことを示せ．

(3)　$a$がすべての実数を動くとき，$l_a$が通る点$(x,y)$の全体を$S$とおく．領域$S$を図示せよ．

【２】　空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,3,2)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【３】　$y=2|\sin \theta -\cos \theta |+\sin 2\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta -\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t=\sin \theta -\cos \theta$として，$y$を$t$の式で表せ．

(3)　$y$の最大値とそのときの$\theta \text{，}$および，$y$の最小値とそのときの$\theta$を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$k$を正の実数として，$f(x)=-x^2-ax\text{，}$$g(x)=k{x}^2-bx$とおく．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の共有点$(0,0)$における接線の傾きが等しいとして以下の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$c$を$f^{\prime }(0)$より大きな実数とする．$y=cx$と$y=f(x)$で囲まれた領域を$D_1\text{，}$$y=cx$と$y=g(x)$で囲まれた領域を$D_2$とする．$D_1$と$D_2$の面積比を求めよ．

【４‐１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$1$以上の実数$x$に対し，$1+\log x$と$x$の大小関係を調べよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{1+\log x}}\mathit{dx}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．

【４‐２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0$以上の実数$k$に対して，${\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-k|\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　関係式$f(x)=x^2-{\displaystyle {\int }_0^1}|f(s)|\mathit{ds}$を満たす$f(x)$を考える．$k={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$とおくとき，$k\geqq 1$でないことを示せ．

(3)　$4t^3-6t^2+1=4(t-{\displaystyle \frac{1}{2}})(t-{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}})(t-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}})$に注意して，(2)で与えられた$k$を求めよ．

【３】　複素数$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i$について以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$n-1$が$3$の倍数でないとき$|\alpha -{\alpha }^n|$を求め，$|\alpha -{\alpha }^n|>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．ただし$n$は$0$以上の整数である．

(3)　$|\alpha -{\alpha }^m|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような${\alpha }^m$（ただし$m$は$0$以上の整数）の実部を，$m$が小さい方から順にすべて足し合わせた値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　正の実数$x$に対し$I_{\mathrm{n}}(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{(\log s)}^n\mathit{ds}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．$n\geqq 2$のとき，$I_n(x)+n{I}_{n-1}(x)$を$x$の式で表せ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，${\displaystyle {\int }_1^e}\{{(\log x)}^n-n(n-1){(\log x)}^{n-2}\}\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$8_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{j}^2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_n$を$n$で表す公式を書き，その公式を数学的帰納法によって証明せよ．

(2)　$S_n$を$5$で割った余りは，$6S_n$を$5$で割った余りに等しいことを示せ．また，$n$を$5$で割った余りが$2$のとき，および$3$のときに，$S_n$を$5$で割った余りをそれぞれ求めよ．

(3)　$n$を$5$で割った余りが$2$のとき，$S_n\leqq 5m\leqq S_{n+1}$を満たす自然数$m$の個数を$n$で表せ．

【３】　複素数$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i$について以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$n-1$が$3$の倍数でないとき$|\alpha -{\alpha }^n|$を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数である．

(3)　$|\alpha -{\alpha }^m|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような${\alpha }^m$（ただし$m$は$0$以上の整数）の実部を，$m$が小さい方から順にすべて足し合わせた値を求めよ．

【４】　$x$を正の実数，$n$を自然数とする．$n\geqq 1$のとき$f_n(x)={(\log x)}^n$と定義し，$n\geqq 3$のとき$g_n(x)=f_n(x)-n(n-1)f_{n-2}(x)$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 3$のとき，不定積分${\displaystyle \int }{g}_n(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$n$が$3$以上の奇数のとき，定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^e}|g_n(x)|\mathit{dx}$を求めよ．