2019　三重大学　後期工学部MathJax

【１】　$\alpha$と$\beta$は実数で，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ

${\log }_2(\cos \alpha +\sin \alpha +1)$$=\beta +{\log }_2\left({\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha +\sin \alpha -1}}\right)$

を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\beta ={\displaystyle \frac{{\log }_{2}3}{2}}-1$のとき$\alpha$を求めよ．

(2)　$\alpha$が$2{\cos }^2\alpha \sin \alpha +{\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha }}=3\cos \alpha$を満たすとき，$\sin 2\alpha$を求めよ．さらに$\alpha$と$\beta$を求めよ．

【２】 　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$で$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$ の三角形$\mathrm{OAB}$ において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=2\overrightarrow{a}$となる点$\mathrm{K}$をとる．点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$（$s$は実数）で$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{BK}}$に垂直になるように定める．

(1)　$s$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$の範囲の$t$に対して，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は(2)の通りとする．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最小値とそのときの$t$を求めよ．

【３】　$r$を$1$より大きい奇数の自然数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を次のように定める．

$a_n={\displaystyle \frac{r^{n-1}}{2}}\text{，}$$b_n=a_n-[a_n]+{\displaystyle \frac{24}{n+14}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$[t]$は実数$t$の整数部分（すなわち$t$を超えない最大の整数）を表す．

(1)　$a_n-[a_n]$を求め，さらに${\displaystyle \sum _{k=1}^n}[a_k]$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}[b_k]$を求めよ．

【４】　$f_0(x)=x\cos 2x$とし，$f_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．また，正の奇数$n$に対し

$p_n(x)=f_n(x)+{(-1)}^{\frac{n+1}{2}}{\displaystyle \frac{n\cos 2x+2x\sin 2x}{2^{n+1}}}$

とおき，正の偶数$n$に対し

$p_n(x)=f_n(x)+{(-1)}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle \frac{n\sin 2x-2x\cos 2x}{2^{n+1}}}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$f_1(x)$と$p_1(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{p}_{n+1}(x)$を$p_n(x)$で表せ．さらに$p_n(x)$は$x$の$n-1$次多項式であることを示せ．ただし，$0$でない定数は$x$の$0$次多項式とみなすことにする．