2019　三重大学　後期生物資源学部MathJax

【１】　$x‐y$座標平面上において，$x$軸方向の基本ベクトルを$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$y$軸方向の基本ベクトルを$\overrightarrow{e_2}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{p}$とベクトル$\overrightarrow{r}$が次の$6$つのすべての式を満たすとする．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$0<\varphi <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$\theta \ne \varphi$かつ$\theta >\varphi$かつ$\overrightarrow{r}\ne \overrightarrow{0}$とする．

(1)　$\left|\overrightarrow{r}\right|>\left|\overrightarrow{p}\right|$の場合，$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{r}\text{，}$$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{e_2}$が$x‐y$座標平面上のどこに位置するかを$\theta$と$\varphi$の角度を明示しつつ図示せよ．

(2)　以下の文章の$\text{ア}\text{～}$$\text{ス}$に代入する数式として最も適当なものを，下の選択肢群から選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでよい．

　$\left|\overrightarrow{r}\right|=1$の場合，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{r}$を成分で書くと$\overrightarrow{p}=(\text{ア},\text{イ})\text{，}$$\overrightarrow{r}=(\text{ウ},\text{エ})$である．$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{r}$のなす角を$\delta$とすると，$\delta =\text{オ}$であり，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{r}$の内積の性質から，

$\cos \delta =\text{カ}\times \text{キ}+\text{ク}\times \text{ケ}$

と書ける．

　$\left|\overrightarrow{r}\right|\ne 1$かつ$\left|\overrightarrow{r}\right|\ne 0$の場合，内積の性質を用いると，

${\displaystyle \frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{p}}{\left|\overrightarrow{r}\right|\left|\overrightarrow{p}\right|}}=\text{コ}$

と書ける．$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{e_1}=a\text{，}$$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{e_2}=b$より，

$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{p}=a\times \text{サ}+b\times \text{シ}$

と書ける．$r=\sqrt{a^2+b^2}$とおくと，

$a\times \text{サ}+b\times \text{シ}=r\times \text{ス}$

と書ける．このことから，三角関数はベクトルの内積を用いて合成することができる．

選択肢群

【２】　$a_1=3\text{，}$$b_1=1\text{，}$$a_{n+1}=4a_n+2b_n\text{，}$$b_{n+1}=a_n+3b_n$で定められている数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．$P\text{，}$$Q$を任意の実数として，以下の問に答えよ．

(1)　$a_{n+1}+P{b}_{n+1}=Q(a_n+P{b}_n)$を満たす$P\text{，}$$Q$の組$(P,Q)$をすべて求めよ．

(2)　上記の$P\text{，}$$Q$を満たす数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n]$の一般項を求めよ．

【３】　$f(x)=x^3-3x$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$h$を定数とし，$x$が$t$から$t+h$まで変化したときの$f(x)$の変化量$\mathit{\Delta f}$を，

$\mathit{\Delta f}=f(t+h)－f(t)$

と定義すると，$\mathit{\Delta f}$は$x=t$における$f(x)$の微分係数$f^{\prime }(t)$を使って，

$\mathit{\Delta f}=f^{\prime }(t)h+\text{あ}$

と表される．$\text{あ}$に入る多項式を$t$と$h$を使って表せ．

(2)　$F(x)=4{\displaystyle {\int }_{x-1}^{x+1}}f(t)\mathit{dt}$とする．$F(x)$の極大値を求めよ．

(3)　接線に直交する直線のことを法線と呼ぶ．$y=f(x)$のグラフの$x=0$における法線と$y=f(x)$のグラフが囲む部分の面積$S$を求めよ．