2019　広島大学　前期MathJax

【１】　$a>0\text{，}$$r>0$とし，数列$\{a_n\}$を初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列とする．また，数列$\{b_n\}$は次のように定義される．

$b_1=a_1\text{，}$$b_{n+1}=b_n{a}_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$b_n$を$a\text{，}r$および$n$を用いて表せ．

(2)　一般項が

$c_n={\displaystyle \frac{{\log }_2{b}_n}{n}}$

である数列$\{c_n\}$は等差数列であることを証明せよ．

(3)　(2)で与えられた数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの平均を$M_n$とする．すなわち，

$M_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$

とする．このとき，一般項が

$d_n=2^{M_n}$

である数列$\{d_n\}$は等比数列であることを証明せよ．

【２】　$n$を自然数とし，$p$を$0<p<1$を満たす実数とする．一方の面に$0\text{，}$もう一方の面に$1$と書いたカードがある．最初，このカードは$0$と書かれた面が上になるように置いてある．表の出る確率が$p$のコインを投げ，裏が出たときだけカードを裏返すという試行を$n$回繰り返して行う．$n$回の試行の後，カードの上の面に書かれた数字が$0$である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$P_n$を$p$および$n$を用いて表せ．

(2)　$n\geqq 2$とする．$n$回の試行の後，カードの上の面に書かれた数字が$0$であり，さらに，途中でカードが少なくとも$1$回裏返されたことがわかっている．このとき，ちょうど$2$回裏返された確率を$p$および$n$を用いて表せ．

【３】　座標平面上の二つの曲線

$C\text{：}y=x^3\text{，}$$C^{\prime }\text{：}y=8x^3$

と曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_1(1,1)$を考える．点${\mathrm{P}}_1$を通り$x$軸と平行な直線と曲線$C^{\prime }$の交点を${\mathrm{Q}}_1$とし，点${\mathrm{Q}}_1$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$C$の交点を${\mathrm{P}}_2$とする．次に，点${\mathrm{P}}_2$を通り$x$軸と平行な直線と曲線$C^{\prime }$の交点を${\mathrm{Q}}_2$とし，点${\mathrm{Q}}_2$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$C$の交点を${\mathrm{P}}_3$とする．このように，自然数$n$に対して，点${\mathrm{P}}_n$を通り$x$軸と平行な直線と曲線$C^{\prime }$の交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，点${\mathrm{Q}}_n$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$C$の交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_{n+1}$における曲線$C$の接線，直線$x=a_n$および曲線$C$で囲まれる部分のうち，$a_{n+1}\leqq x\leqq a_n$の領域にある面積を$S_n$とする．$S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$T_n=S_1+S_2+\cdots +S_n$とおく．$T_n$を$n$を用いて表せ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上において，点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}(0,-1)$および$x$軸上の正の部分を動く点$\mathrm{P}(t,0)$があり，$\mathrm{\angle APB}$は鈍角でないとする．$\mathrm{▵ABP}$の重心を$\mathrm{H}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BP}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{PA}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わることが知られている．その交点のことを，三角形の垂心という．

(1)　$\mathrm{\angle APB}$が直角となる$t$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．

以下では，$t$が(1)で求めた値よりも大きい値をとるとする．

(3)　点$\mathrm{H}$が$\mathrm{▵ODE}$の内心であることを証明せよ．ただし，$1$組の対角の和が$180\mathrm{°}$である四角形は円に内接することを，証明なしに利用してもよい．

(4)　$\mathrm{▵ODE}$の内接円の半径を$t$を用いて表せ．

【２】　箱の中に$1$から$N$までの数が一つずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．ただし，$N$を$2$以上の自然数とする．「カードをよく混ぜて$1$枚取り出し，そのカードに書かれた数を読み取り，そのカードをもとに戻す」という試行を$4$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目および$4$回目に取り出したカードに書かれた数を，それぞれ$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$とする．また，座標平面上に$4$点${\mathrm{P}}_1(a_1,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(a_1,a_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3(a_1-a_3,a_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_4(a_1-a_3,a_2-a_4)$を定める．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_4$が原点$\mathrm{O}(0,0)$に一致する確率を$N$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{P}}_4$が連立不等式$x\geqq 0\text{，}y\leqq 0$の表す領域にある確率を$N$を用いて表せ．

(3)　${\mathrm{P}}_4$が直線$y=x$上にある確率を$N$を用いて表せ．

(4)　$N=2^m$とする．ただし，$m$を自然数とする．${\mathrm{P}}_4$が原点$\mathrm{O}$に一致し，かつ，四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の面積が$2^m$となる確率を $m$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)$は実数全体で連続で，すべての実数$x$に対して

$f(x)=(1-x)\cos x+x\sin x-{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{x-t}f(t)dt$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．また，$f^{\prime }(x)=2(x-1)\cos x$が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$は，$0<x<\pi$の範囲にただ一つの解をもつことを示せ．

(4)　(3)のただ一つの解を$\alpha$とする．曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \alpha \text{），}$$x$軸および$y$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$y=f(x)$$\text{（}\alpha \leqq x\leqq \pi \text{），}$$x$軸および直線$x=\pi$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の大小を判定せよ．

【４】　$i$を虚数単位とし，複素数$z$に対して，

$w=z^2+2z+1-2i$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$w$の実部が$0$となる複素数$z$全体を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$w=0$を満たす複素数$z$の個数は$2$個であることを証明し，それぞれを$a+bi$（$a\text{，}$$b$は実数）の形に書き表せ．

(3)　(2)で求めた二つの複素数のうち実部の大きい方を$\alpha \text{，}$実部の小さい方を$\beta$とし，対応する複数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．また，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．複素数$z$に対応する複素数平面上の点が，線分$\mathrm{AM}$上（両端を含む）を動くとき，複素数$w$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(4)　複素数$z$に対応する複素数平面上の点が，点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線上を動くとき，複素数$w$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上において，点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}(0,-1)$および$x$軸上の正の部分を動く点$\mathrm{P}(t,0)$があり，$\mathrm{\angle APB}$は鈍角でないとする．$\mathrm{▵ABP}$の重心を$\mathrm{H}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BP}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BP}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{PA}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わることが知られている．その交点のことを，三角形の垂心という．

(1)　$\mathrm{\angle APB}$が直角となる$t$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．

以下では，$t$が(1)で求めた値よりも大きい値をとるとする．

(3)　点$\mathrm{H}$が$\mathrm{▵ODE}$の内心であることを証明せよ．ただし，$1$組の対角の和が$180\mathrm{°}$である四角形は円に内接することを，証明なしに利用してもよい．

(4)　$\mathrm{▵ODE}$の内接円の半径を$t$の関数$f(t)$として表せ．

(5)　(4)で求めた関数$f(t)$は最大値をもつことを示せ．ただし，最大値を与える$t$の値を求める必要はない．