2019　広島大学　AO入試教育学部数理系MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$X$を集合とし，$A\text{，}$$B$を$X$の部分集合とする．$A$と$B$の和集合$A\cup B\text{，}$共通部分$A\cap B$とは何かそれぞれ説明せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　平均値と中央値が異なる$3$個の整数からなる集合の例を挙げよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　数列$1,6,24,80,240,\cdots$の一般項を推定せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　方程式${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-a^{2}x+2=0$が重解を持つような実数$a$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　任意の自然数$n$に対して，多項式$P_n(x)$を次のように定義する．

$P_n(x)={\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}{\displaystyle \frac{x^n{(1-x)}^n}{n!}}$

　このとき，$P_n(x)$の次数は$n$であり，各項の係数は整数であることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(6)　$\sin x=t$とおいて，不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\cos x}}$を求めよ．

【２】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において定義された関数$f(x)$は，等式

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\cos t}}$

を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$e$を自然対数の底として，

$g(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\text{，}$$h(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$

とする．このとき，二つの関数$f(x)$と$g(x)$の合成関数$(g\circ f)(x)\text{，}$二つの関数$f(x)$と$h(x)$の合成関数$(h\circ f)(x)$を，それぞれできる限り簡単な形で表せ．

(3)　(2)で求めた二つの合成関数$(g\circ f)(x)\text{，}$$(h\circ f)(x)$に対して，

${\displaystyle \frac{(g\circ f)(x)}{(h\circ f)(x)}}=f^{\prime }(x)$$\text{（}x\ne 0\text{）}$

を示せ．

(4)　関数$f(x)$は$1$対$1$なので，逆関数$f^{-1}(x)$が存在する．このとき，

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{f}^{-1}(x)={\displaystyle \frac{2}{e^x+e^{-x}}}$

を示せ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数の定数とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(x,y)\text{，}$$\mathrm{B}$$(ax+by,cx+dy)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　平面上で点$\mathrm{A}$を任意に動かしたとき点$\mathrm{B}$の軌跡が直線$y=x$となるような$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を$1$組求めよ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b=c={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$d=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このとき，すべての実数$x\text{，}$$y$に対して$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$が成り立つことを示せ．

(3)　すべての実数$x\text{，}$$y$に対して$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$が成り立つための$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$についての条件を求めよ．

(4)　すべての実数$x\text{，}$$y$に対して$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$が成り立ち，かつ，三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形であるとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

(5)　点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{O}$以外のある特定の位置にあるときに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が同じ方向になることがあるかどうか，すなわち，

$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる$0$でない実数$t$が存在するかどうか考えよう．ここで「同じ方向」とは反対の向きも含む．すなわち上の$t$は負の数でもよい．そのような$t$が存在するための$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$についての条件を求めよ．

(6)　$a=3\text{，}$$b=c=2\text{，}$$d=-1$のとき(5)の$t$が存在する．その値をすべて求め，$t$の値ごとに点$\mathrm{A}$の存在範囲を求めよ．