2019　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$2$つの不等式

$\begin{array}{ll}|x-1|<2& \cdots \text{①}\\ x+4>2a& \cdots \text{②}\end{array}$

について，次の問いに答えなさい．

(1)　$\text{①}$の解が全て$\text{②}$を満たすような定数$a$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$をともに満たす実数$x$が存在しないような定数$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　三角形について，次の問いに答えなさい．

(1)　三角形の内角のうち最も小さい角を$\theta$とします．$\tan \theta$が整数値をとるとき，$\tan \theta$の値を求めなさい．

(2)　$2$辺の長さが$a\text{，}$残り$1$辺の長さが$b$である二等辺三角形について考えます．等しい$2$辺の間の内角を$\theta$とするとき，$\sin \theta$を$a\text{，}$$b$で表しなさい．

(3)　三角形の$3$辺の長さが，全て$5$以上$9$以下であるとします．このような三角形の面積の最小値を求めなさい．

【３】　関数$y=x^2-(a+2)x$$\text{（}-\left|a\right|\leqq x\leqq \left|a\right|\text{）}$について，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数とします．

(1)　この関数の最小値を$a$で表しなさい．

(2)　この関数の最小値が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるような$a$の値を求めなさい．

【４】　$n$を$3$以上の自然数とします．$1$から$7$までの番号を$1$つずつ書いた7枚のカードがあります．この中から$1$枚のカードを引いてはもとに戻す試行を$n$回行うとき，次の問いに答えなさい．

(1)　引いたカードの番号の最大値が$5$になる確率を求めなさい．

(2)　引いたカードの番号がちょうど$3$種類の番号になる確率を求めなさい．

【５】　$10$個の豆電球を，右図のように横一列に並べて，左から順に$1$から$10$までの数を割り振り，全ての豆電球を点けます．

　今，$10$進数の$9$の段の九九を考え，乗数（かける数）が割り振られた豆電球を消します．例えば，$9\times 1$のときには，左から$1$番目の豆電球だけを消し，$9\times 5$のときには，左から$5$番目の豆電球だけを消します．豆電球を消した後，消した豆電球より左側の点いている豆電球の個数を$10$の位の数，消した豆電球より右側の点いている豆電球の個数を$1$の位の数として，自然数をつくります．

　例えば，$9\times 4$のときに，上の方法で豆電球を消すときは，右図のように左から$4$番目の豆電球だけを消します．このとき，消した豆電球より左には点いた豆電球が$3$個，右には点いた豆電球が$6$個あるので，$10$の位の数が$3\text{，}$$1$の位の数が$6$の自然数をつくると$36$になりますが，これは$9\times 4$の計算結果と一致します．

　このようにして自然数をつくると，乗数として$1$以上$9$以下のどの自然数を選んでも，つくった自然数は$10$進数の$9$の段の九九の計算結果と一致します．

　なお，計算をするときは必ず全ての豆電球が点いた状態から始めます．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　上の方法で$9$の段の九九の計算結果が得られる理由を説明しなさい．

(2)　$k$を自然数，$l$を$k-1$以下の自然数とします．$k$個の豆電球を上の図と同様に横一列に並べて，全ての豆電球を点けます．上と同様に，豆電球に$1$から$k$までの番号を割り振り，$l$番目の豆電球を消す方法によって，$k$進数の$(k-1)$と$l$の積が得られる理由を説明しなさい．