2019　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq \pi$で定義された関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を以下のように定める．

$f(x)=4\cos 3x+4\sin 2x\sin x+3\cos 2x-8\cos x$

$g(x)=4\cos 3x+4|\sin 2x|\sin x+3\cos 2x-8|\cos x|$

以下の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の最大値と最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

問２　$g(x)$の最大値と最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　座標平面上において，$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$で与えられる放物線を$C$とする．$p\text{，}$$q$を実数とし，放物線$C$に点$\mathrm{D}$$(p,q)$から引いた相異なる接線が$2$本存在するとする．このとき，それぞれの接線と放物線$C$の接点のうち$x$座標の小さい方を点$\mathrm{A}$とし，他方を点$\mathrm{B}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$p$と$q$がみたす関係式を求めよ．

問２　点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を$p$と$q$を用いてそれぞれ表せ．

問３　$q=0$とするとき，放物線$C$と$2$本の接線で囲まれる領域の面積を求めよ．

問４　$q\ne 0$とするとき，$\tan \mathrm{\angle ADB}$の値を$p$と$q$を用いて表せ．

【１】　実数$a\text{，}$$b$が$0<a<b\leqq 1$をみたすとする．座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,a)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2,4)$に対し，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{PQ}$からなる折れ線グラフを与える関数を$y=f(x)$とする．ただし，$f(x)$の定義域は$0\leqq x\leqq 2$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$と$y=b{x}^2$の交点をすべて求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-f(x)|\mathit{dx}$の最小値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，さいころを$n$回投げて座標平面上の点${\mathrm{P}}_k$$(x_k,y_k)$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$を以下のように定める．

以下の問いに答えよ．

問１　$n=5$のとき，$y_5\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}$となる確率を求めよ．

問２　$x_n+y_n$を$n$の式で表せ．

問３　${\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq y_n<{\displaystyle \frac{7}{8}}$となる確率を求めよ．

問４　$n$は偶数とする．$k$$\text{（}k\geqq 1\text{）}$回目に出たさいころの目は，$k$が奇数のとき$3$の倍数，$k$が偶数のとき$3$の倍数以外とする．このとき，$x_n$および$y_n$を$n$の式でそれぞれ表せ．さらに，この事象が起こる確率が${\displaystyle \frac{1}{1000}}$未満となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.30\text{，}$${\log }_{10}3=0.48$とする．

【１】　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{1-i}}$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

問１　${\alpha }^{2019}$の値を求めよ．

問２　${\beta }^3=8{\alpha }^2$をみたす複素数$\beta$をすべて求めよ．

問３　複素数$z$が複素数平面上で原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，$w=\alpha z+{\displaystyle \frac{\alpha }{z}}$で表される点$w$全体を複素数平面上に図示せよ．

【２】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$における座標を$(x,y)=(t-\sin t,1-\cos t)$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$0<t<2\pi$において，${\displaystyle \frac{dy}{\mathit{dx}}}$および${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}$を$t$を用いてそれぞれ表せ．

問２　$0<t<2\pi$において，${\displaystyle \frac{dx}{\mathit{dt}}}\text{，}$$y$および${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

問３　時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\text{，}$$2\pi$における点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求め，点$\mathrm{P}$の描く曲線の概形を座標平面上に図示せよ．

問４　点$\mathrm{P}$の描く曲線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．