2019　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　点$\mathrm{A}$$(1,0)$から直線$y=mx$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．また，点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=4\overrightarrow{\mathrm{AH}}$をみたすとする．ただし，$m$は実数かつ$m\ne 0$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問２　$m$が$0$を除く実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$は点$(-1,0)$を中心とする円の周上に存在することを示せ．さらに，その円の半径を求めよ．

【２】　$f(x)=a{x}^2+(a-2)x+b$とする．ただし，$a\text{，}$$b$は実数かつ$a\ne 0$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$c$は実数とし，$ab\leqq 0$をみたすとする．放物線$y=f(x)$が直線$y=cx+2b$と接するとき，$c$を$a$と$b$を用いて表せ．

問２　すべての$a$に対して$f(x)=0$が実数解をもつとする．このとき，$b$の値の範囲を求めよ．

問３　$b$の値が問２で求めた範囲に含まれないとする．$f(x)=0$が実数解をもつための$a$の値の範囲を$b$を用いて表せ．

【３】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}|x-k^2|$

で定める．以下の問いに答えよ．

問１　$y=f_2(x)$および$y=f_3(x)$のグラフを座標平面上に描け．

問２　整数$m$は$1\leqq m\leqq n$をみたすとする．$m^2\leqq x<{(m+1)}^2$のとき，$f_n(x)=ax+b$をみたす$a$と$b$をそれぞれ$m$と$n$を用いて表せ．

問３　$n$が偶数であるとき，関数$f_n(x)$の最小値を求めよ．