2019　公立はこだて未来大学　AOMathJax

【１】　$P(x)=x^3-(a+1)x^2+(a+b)x-b$とする．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とし，重解は$1$つと数える．以下の問いに答えよ．

問１　$P(x)$を因数分解せよ．

問２　$P(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，さらに点$(a,b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．

問３　$P(x)=0$のとりうる実数解の個数は，$a$と$b$がみたす関係によってどのように変わるか調べよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　$n$を自然数とする．次式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

$(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (2n)=2^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$

【２】　以下の問いに答えよ．

問２　正の実数$a\text{，}$$b$が$a^2<b<a<1$をみたすとき，

${\log }_{b}a\text{，}$${\log }_{a}b\text{，}$${\log }_a{\displaystyle \frac{a}{b}}\text{，}$${\log }_b{\displaystyle \frac{b}{a}}$

の大小関係を不等式で表せ．

【３】　袋に$1$から$20$までの相異なる自然数が$1$つ書かれた$20$枚のカードが入っており，袋から$2$枚のカードを同時に取り出す．以下の問いに答えよ．

問１　取り出した$2$枚のカードの数字がともに$10$以下である確率を求めよ．

問２　取り出した$2$枚のカードの数字の和が素数である確率を求めよ．

問３　取り出した$2$枚のカードのうち$1$枚の数字が素数，もう$1$枚の数字が奇数である確率を求めよ．