2019　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問３に答えよ．

問１　次の$2$次関数の最大値または最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

$y=(12-x)x-2x$

【１】　次の問１〜問３に答えよ．

問２　等式$2(x+4)a+(x+2)b-2x-8=0$が，$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

【１】　次の問１〜問３に答えよ．

問３　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，次の関数の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$y=\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta$

【２】　右の表はある農家で生産された$25$個の鶏卵の重量（単位は$\mathrm{g}$）を示したものである．鶏卵はその重量により，SS（$40\mathrm{g}$以上，$46\mathrm{g}$未満），S（$46\mathrm{g}$以上，$52\mathrm{g}$未満），MS（$52\mathrm{g}$以上，$58\mathrm{g}$未満），M（$58\mathrm{g}$以上，$64\mathrm{g}$未満），L（$64\mathrm{g}$以上，$70\mathrm{g}$未満），LL（$70\mathrm{g}$以上，$76\mathrm{g}$未満）の$6$つの階級に区分される．

次の(1)〜(4)に答えよ．

(1)　このデータの最頻値を求めよ．すなわち，最も度数が多いデータの値を求めよ．

(2)　$6$つの階級に従い，解答欄の度数分布表の空欄を埋め，度数分布表を作れ．

(3)　(2)で作った度数分布表をもとにして，ヒストグラムを描け．

(4)　(2)で作った度数分布表の最頻値を求めよ．すなわち，最も度数が多い階級の階級値を求めよ．

【３】　$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．このとき，$2$数$\alpha -i\text{，}$$\beta -i$を解とする，係数がすべて実数で，特に，最高次の係数が$1$であり，次数が最も低い方程式を$1$つ作れ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【４】　ある実数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$に対して，${\displaystyle \frac{l}{4m+4n}}={\displaystyle \frac{m}{4n+4l}}={\displaystyle \frac{n}{4l+4m}}$が成り立つとき，この式の値をすべて求めよ．ただし，$l+m\text{，}$$m+n\text{，}$$n+l$は$0$でないとする．

【５A】　任意の整数の平方を$4$で割ったときの余りは，$0$か$1$であることを証明せよ．

【５B】　$10$円硬貨$2$枚，$50$円硬貨$1$枚，$100$円硬貨$1$枚を同時に投げるとき，表が出た硬貨の合計金額$X$の期待値と分散を求めよ．

【６A】　実数$x$に対して，$\lceil x\rceil$は$x$以上の最小の整数，$\lfloor x\rfloor$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．例えば，$\lceil 2\rceil =\lfloor 2\rfloor =2$であり，$\lceil \pi \rceil =4\text{，}$$\lfloor \pi \rfloor =3$である．次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　次の値をそれぞれ求めよ．

$\lceil {\displaystyle \frac{8}{3}}\rceil \text{，}$$\lceil {\displaystyle \frac{9}{3}}\rceil \text{，}$$\lceil {\displaystyle \frac{10}{3}}\rceil$

(2)　次の値をそれぞれ求めよ．

$\lfloor {\displaystyle \frac{8}{3}}\rfloor \text{，}$$\lfloor {\displaystyle \frac{9}{3}}\rfloor \text{，}$$\lfloor {\displaystyle \frac{10}{3}}\rfloor$

(3)　自然数$a\text{，}$$b$に対して，次の等式を証明せよ．

$\lceil {\displaystyle \frac{a}{b}}\rceil =\lfloor {\displaystyle \frac{a+b-1}{b}}\rfloor$

　必要なら，$a=mb+r$を用いよ．ここで，$m$は商で$r$$\text{（}0\leqq r<b\text{）}$は余りである．

【６B】　$100$以下の自然数の中で$2\text{，}$$3\text{，}$$5$の少なくとも$1$つで割り切れるものの総和$S$を求めたい．自然数$n$に対して，$100$以下の自然数の中で$n$で割り切れるものの総和を$T_n$として，次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$T_2\text{，}$$T_3\text{，}$$T_5$を求めよ．

(2)　$T_6\text{，}$$T_{10}\text{，}$$T_{15}$を求めよ．

(3)　$S$を求めよ．