2019　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１，問２に答えよ．

問１　次の不等式を解け．

$|x-4|+|x-8|\leqq 12$

【１】　次の問１，問２に答えよ．

問２　地震のエネルギー$E$と，マグニチュード$M$の関係は，対数を用いて次のように表される．

${\log }_{10}E=4.8+1.5M$

マグニチュードが$2$大きくなるごとに，地震のエネルギーが何倍になるか求めたい．次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$E$を$M$を用いて表せ．

(2)　マグニチュードが$M+2$のときの地震のエネルギーを$E^{\prime }$とするとき，$E^{\prime }$を$M$を用いて表せ．

(3)　マグニチュードが$2$大きくなるごとに，地震のエネルギーが何倍になるか求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}$$\beta$を虚数とする．$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta$がともに実数ならば$\alpha =\bar{\beta }$であることを示せ．ただし，$\bar{\beta }$は複素数$\beta$に共役な複素数である．

【３】　$1\leqq x\leqq 4\text{，}$$1\leqq y\leqq 3$のとき，$x^2-4x+4y^2+8y$の最大値と最小値およびそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【４】　$2$つの曲線$y=a{x}^2+bx$$\text{（}a>0\text{），}$$y=c{x}^2+dx$は点$(1,5)$で共通の接線をもち，この$2$つの曲線が囲む図形の面積は${\displaystyle \frac{1}{12}}$である．このときの$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を求めよ．

【５A】　ある町には図のような道がある．地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$までの，次のような最短の道順は何通りあるか．次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　交差点$\mathrm{P}$を通る．

(2)　交差点$\mathrm{Q}$を通る．

(3)　交差点$\mathrm{P}$または$\mathrm{Q}$を通る．

【５B】　ある高校で数学の試験を行ったところ，その得点の分布は平均が$52$点で，標準偏差が$20$点の正規分布となった．この得点を$X$$\text{（}0\leqq X\leqq 100\text{）}$とする．この確率変数$X$を用いて，平均が$50$点，標準偏差が$10$点の正規分布に従う確率変数$Y=aX+b$を求めたい．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　条件を満たす実数$a\text{，}$$b$を$2$組求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$組を$(a_1,b_1)\text{，}$$(a_2,b_2)$とし$\text{（}{a}_1<a_2\text{），}$$Y_1=a_{1}X+b_1$とおく．この数学の先生は，確率変数$Y_1$が高い学生ほど，良い成績を与える．この試験の得点$X$で何点を取ればもっとも良い成績が取れるか理由を含めて述べよ．

【６A】　四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さが$1$の正方形で，$\mathrm{OA}$$=\mathrm{OB}$$=\mathrm{OC}$$=\mathrm{OD}$$={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$である．次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　点$\mathrm{O}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とするとき，$\mathrm{▵OAH}$と$\mathrm{▵BCD}$の面積比を求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{OM}\text{，}$$\mathrm{ON}$とすると$\mathrm{▵OMN}$の内接円の半径$R$と$\mathrm{▵BCD}$の内接円の半径$R^{\prime }$の比を求めよ．

(3)　四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$に内接する球の中心と$\mathrm{▵BCD}$の内心との距離を求めよ．

【６B】　$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,2)$が定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{D}$$(0,1,0)$から平面$\alpha$へ下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とする．次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表すとき，$\overrightarrow{\mathrm{DH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて，$s-t-1=0\text{，}$$s-4u=0$を導け．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　垂線$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．