2019　公立諏訪東京理科大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$f(X)={\displaystyle {\int }_0^X}x{e}^{-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$\underset{X\to +\infty }{\lim }f(X)$を求めよ．

(3)　$g(X)={\displaystyle {\int }_0^X}{x}^3{e}^{-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$\underset{X\to +\infty }{\lim }g(X)$を求めよ．ただし，必要であれば$\underset{t\to +\infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$を用いてよい．

【２】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(0,3a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,{\displaystyle \frac{a}{3}})\text{，}$$\mathrm{P}$$(x,0)$をとり，$\mathrm{\angle OPA}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle OPB}=\beta \text{，}$$\mathrm{\angle APB}=\theta$とおく．ただし$a$は正の定数で，$x>0$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\tan \alpha$を$a\text{，}$$x$で表せ．

(2)　$\tan \beta$を$a\text{，}$$x$で表せ．

(3)　$\tan \theta$を$a\text{，}$$x$で表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，$\theta$が最大となる点$\mathrm{P}$の座標，およびそのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}x=\sin t\text{，}$$y=\sin 2t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について以下の問いに答えよ．

(1)　$y$を$x$の式で表せ．

(2)　曲線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　曲線$C$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

補足説明：曲線$C$は点$(x,y)$の軌跡です．

【４】　$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号を$1$つずつ書いた$n$個のボールを箱の中に入れ，無作為に$3$個のボールを取り出し，取り出したボールのうちの最も大きい番号を得点とするゲームを考える．得点が$K$となる確率を$P_K$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$P_1\text{，}$$P_2\text{，}$$P_3$を求めよ．

(2)　$k$が$3\leqq k\leqq n$とするとき$P_k$を求めよ．

(3)　得点が$j$以下となる確率を求めよ．ただし$j$は$n$以下の自然数とする．

(4)　得点$n$が得られるまで何回もゲームを繰り返す．ただし，取り出したボールは毎回箱の中に戻す．このとき，ゲーム回数が$m$以下になる確率$Q_m$を求めよ．

(5)　(4)の$Q_m$について$m=n$としたとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{Q}_n$を求めよ．

補足説明：「…，無作為に$3$個のボールを取り出し，…」というのは，$3$個同時に取り出すことを意味します．

【５】　$3$点$\mathrm{A}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(x,y,z)$$\text{（}x>0\text{）}$があり，$\mathrm{O}$を原点とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵PAB}$の面積を求めよ．

(2)　$x$と実数$t$を固定する．$y+z=t$であるとき，$\mathrm{▵POA}\text{，}$$\mathrm{▵POB}$の面積の和が最小となる$y\text{，}$$z$を$t$を用いて表せ．

(3)　$4$面体$\mathrm{POAB}$の体積が${\displaystyle \frac{1}{6}}$となる範囲を動くとき，$4$つの面積の総和が最小となるときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値を求めよ．