2019　公立諏訪東京理科大学　中期MathJax

【１】　曲線$y=e^{-2x^2}$について以下の問いに答えよ．

(1)　原点を$\mathrm{O}\text{，}$曲線上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{OP}$を対角線とし，$2$辺が$x$軸，$y$軸上にある長方形の面積$S$を$a$で表せ．

(2)　(1)の$S$について，$S$の最大値を求めよ．

【２】　表の出る確率が${\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$裏の出る確率が${\displaystyle \frac{2}{5}}$であるコインがある．原点$\mathrm{O}$から出発して，座標平面上を動く点$\mathrm{P}$について，コインを投げて，表が出ると$x$方向に$+1\text{，}$裏が出ると$y$方向に$+1$移動するとする．コインを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が到達する座標を$(X,Y)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$Y\leqq X$である確率を求めよ．

(2)　確率変数$X+2Y$の期待値を求めよ．

【３】　$t$の変化に伴って動く空間内の$2$動点$\mathrm{P}$$(0,\cos 4t,\sin 4t)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\cos t,\cos t,\sin t)$がある．原点を$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{\angle POQ}=\theta \text{，}$$p=\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\text{，}$$q=\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|\text{，}$$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし$t$はあらゆる実数値をとるものとする．

(1)　$q$を$t$で表せ．

(2)　$\cos \theta$を$t$で表せ．

(3)　$S$を$t$で表せ．

(4)　$S$の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=-x^2+2x+1$について，曲線$y=f(x)\text{，}$直線$x=0\text{，}$直線$x=2\text{，}$$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　区間$[0,2]$を$n$等分して，その両端と分点を順に$x_i={\displaystyle \frac{2i}{n}}$$\text{（}i=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$とする．このとき$2$点$(x_{k-1},f(x_{k-1}))$と$(x_k,f(x_k))$を通る直線，直線$x=x_{k-1}\text{，}$直線$x=x_k\text{，}$$x$軸とで囲まれる台形の面積$s_k$を求めよ．

(3)　(2)の$s_k$について，$n$個の台形の面積の和

${\displaystyle S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{s}_k}$

を求めよ．

(4)　(3)の$S_n$について，$S_n>\mathrm{0.99S}$となる最小の $n$を求めよ．

【５】　一辺の長さが$1$の立方体があり，ここから，以下の手順に従って，立方体を取り除く．

手順１：立方体の各辺を$3$等分して$27$個の小さな立方体に分割し，中心の小さな立方体と，各側面の中央の小さな立方体を取り除く．（図１）

手順２：残った立方体それぞれについて，立方体の各辺を$3$等分して$27$個の小さな立方体に分割し，中心の小さな立方体と，各側面中央の小さな立方体を取り除く．（図２）

手順$n$：手順$(n-1)$の後に残っているすべての立方体について，立方体の各辺を$3$等分して$27$個の小さな立方体に分割し，中心の小さな立方体と，各側面中央の小さな立方体を取り除く．

　手順１から手順$n$で取り除かれた，すべての立方体の体積を$V_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$V_1$を求めよ．

(2)　$V_2$を求めよ．

(3)　$V_n>0.9$となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$とする．

補足説明：$V_n$は手順１から手順$n$で取り出した立方体の体積の合計です．