2019　公立諏訪東京理科大学　推薦MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$i$を虚数単位とするとき，${\displaystyle \frac{1}{i}}+{\displaystyle \frac{1}{i^2}}+{\displaystyle \frac{1}{i^3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{i^{10}}}$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が$1\text{，}$$3\text{，}$$5$を解にもつとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　${\log }_{a}b+3{\log }_{b}a={\displaystyle \frac{13}{2}}$のとき，$b$を$a$で表せ．さらに$a>b>1$のときの${\displaystyle \frac{a+b^4}{a^2+b^2}}$の値を求めよ．

【２】　以下の各問いに答えよ．

(1)　方程式$2x^2-x-2=0$の$2$解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき，${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(-2x^2+x+2)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【２】　以下の各問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=2\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x+4\sin x$において，$\sin x=t$とおくことにより$f(x)$を$t$の式で表せ．さらに，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=-x^3+x^2$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$と直線$y=-x$との交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$C$上の点で，$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の間にある点を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{T}$の$x$座標を$t$とするとき，$\mathrm{▵QRT}$の面積$S(t)$を$t$で表せ．

(3)　$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．