2019　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数で$b>a-b>c>0$をみたすとする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$${\displaystyle \frac{a+b-c}{2}}$を大きい順に並べなさい．

(2)　$|x-a|-|x-b|-c=0$をみたす実数$x$を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　右図のような碁盤の目の道があり，その上をコマが移動する試行を考える．コマは最初に$\mathrm{A}$を出発して，$1$秒ごとに隣の格子点へ道に沿って移動する．ただし，どの方向に移動するかは同じ確率で決まるものとする．例えば，コマが$\mathrm{A}$の位置にあるときは${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかへ移動し，コマが$\mathrm{B}$の位置にあるときは${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$のいずれかへ移動する．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$2$秒後にコマが$\mathrm{E}$の位置にある確率を求めなさい．

(2)　$4$秒後にコマが$\mathrm{I}$の位置にある確率を求めなさい．

(3)　$6$秒後にコマが$\mathrm{I}$の位置にある確率を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　$n$を正の実数とする．$\mathrm{▵ABC}$について辺$\mathrm{AB}$を$1:n$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$n:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)　線分$\mathrm{BG}$と線分$\mathrm{GC}$の長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を，$n$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{FG}$の長さは線分$\mathrm{FA}$の長さの何倍になるかを，$n$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{▵FBC}$の面積が$\mathrm{▵ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{2}{7}}$倍になるような$n$の値を求めなさい．

【３】　座標平面上において$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)$とする．また$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，$x^2+y^2=1$$\text{（}y\geqq 0\text{）}$で表される半円$C$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を$\mathrm{\angle AOP}=\theta \text{，}$$\mathrm{\angle AOQ}=2\theta$となるようにとる．さらに，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$と直線$\mathrm{OQ}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　直線$l$の方程式を$\theta$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$と直線$l$との距離$d$は，$d=1-\cos \theta$で与えられることを示しなさい．

(3)　$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$を$\theta$を用いて表しなさい．また，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のときの$S$の値を求めなさい．