2019　学習院大学　理（コア），文（プラス）学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\sqrt[3]{x^2+10}$のグラフの変曲点の座標をすべて求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　さいころを$n$回投げるとき，$6$の目が出た回数を$X$とし，$X$が偶数である確率を$P_n$とする．

(ⅰ)　$P_1\text{，}$$P_2$を求めよ．

(ⅱ)　$P_n$を$P_{n-1}$を用いて表せ．

(ⅲ)　$P_n$を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　$2$つの関数

$f(x)=\log \sqrt{x}\text{，}$$g(x)={(\log x)}^2$

を考える．

(1)　不等式$f(x)>g(x)$を満たす$x$の範囲を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　複素数$z_n$を

$z_1=1\text{，}$$z_{n+1}=i{z}_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$n=2019$のとき，$z_n$を求めよ．

(2)　すべての$z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$を通る円の中心と半径を求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$について$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すとき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=5\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$

が成り立つとする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle AOB}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{3}{10}}\overrightarrow{b}$と表される点を$\mathrm{P}$とする．直線$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}$および$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通り，線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の両方と交わるような直線を考え，交点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\prime }}=t\overrightarrow{a}$と表すとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$t$がその範囲を動くとき，${\mathrm{▵OA}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積の最小値を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．