2019　学習院大学　経済（コア），法（プラス）学部MathJax

【１】　さいころを$1$回投げて，出た目の数の枚数のコインを投げ，コインの表の枚数を得点とする．得点が$4$である確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

【２】　実数$x\text{，}$$y$は条件

$0\leqq x\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\sin x+\sin y={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}$$\cos 2x+\cos 2y={\displaystyle \frac{6}{5}}$

をすべて満たすものとする．

(1)　$\sin x$を求めよ．

(2)　$\sin (y-x)$を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの放物線

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{，}$$y=x^2-4x-1$

の両方に接する直線の方程式をすべて求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　多項式

$x^{1010}+x^{101}+x^{10}+x$

を$x^3-x$で割ったときの余りを求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　正の実数$a$に対して，関数$f(x)$を

$\{\begin{array}{l}x\leqq 0\text{のとき，}f(x)=2ax\\ x>0\text{のとき，}f(x)=x^2+ax\end{array}$

と定める．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=x^3$のすべての交点の$x$座標を求めよ．

(2)　定積分

$S={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x^3-f(x)|dx$

を求めよ．

(3)　$a$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値と，最小値を与える$a$を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．