2019　学習院大学　数学科特別入試MathJax

【１】　方程式$17x+11y=5$の整数解をすべて求めよ．

【２】　袋$\mathrm{A}$には，白玉$3$個，赤玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$2$個，赤玉$2$個が入っている．このとき，次の操作を考える．

操作１：袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出して，袋$\mathrm{B}$に入れる．

操作２：袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して，袋$\mathrm{A}$に入れる．

(1)　操作１を行い引き続いて操作２を行う．このとき，袋$\mathrm{A}$に白玉$3$個，赤玉$4$個が入っている確率を求めよ．

(2)　操作１を行い引き続いて操作２を行った結果，袋$\mathrm{A}$に白玉$3$個，赤玉$4$個が入っていたとする．このとき，操作１が終了した時点で袋$\mathrm{B}$に白玉が$3$個以上含まれていた確率を求めよ．

【３】　ある複素数$\alpha$と，$\beta =1$および$\gamma =2+3i$が表す複素数平面上の点を，順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と表す．ただし，$i$は虚数単位を表すものとする．

(1)　直線$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．$\alpha =3+i$であるとき，${\mathrm{A}}^{\prime }$を表す複素数${\alpha }^{\prime }$を求めよ．

(2)　$\alpha$の偏角が$0<\arg \alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，$3$点，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が正三角形をなすように複素数$\alpha$を定めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．

(1)　積分${\displaystyle {\int }_1^2}{(x+\log x)}^2\mathit{dx}$の値を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．

(2)　方程式$x^2+3=a{e}^{\frac{x}{2}}$が，異なる$3$つの実数解を持つような実数$a$の範囲を求めよ．