2019　学習院大学　理（プラス）学部MathJax

【１】　さいころを$4$回投げて，出た目の数を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$とする．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$に対して$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k$の最大値を$M_k$とする．ただし，$M_1=a_1$である．

(1)　条件$M_1=M_2=M_3$が成り立つ確率を求めよ．

(2)　条件$M_1=M_2=M_3<M_4$が成り立つ確率を求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

【２】　平面上の点$(x,y)$について，次の$2$つの条件を考える．

条件(a)　$3$辺の長さが$1\text{，}$$x\text{，}$$y$であるような三角形が存在する．

条件(b)　$3$辺の長さが$1\text{，}$$x\text{，}$$y$であるような鈍角三角形が存在する．

以下の問いに答えよ．

(1)　条件(a)を満たす点$(x,y)$からなる領域を求め，図示せよ．

(2)　条件(b)を満たす点$(x,y)$からなる領域を求め，図示せよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とする．$2$つの等式

$\{\begin{array}{l}\omega \alpha +{\omega }^2\beta =4\\ {\omega }^2\alpha +\omega \beta =9\end{array}$

を同時に満たす複素数$\alpha \text{，}\beta$の実部と虚部とをそれぞれ求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　連立不等式

$y\geqq x^2-4x+5\text{，}$$y\leqq 5$

で定まる平面上の領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$

を考える．

(1)　$y=f(x)$の接線で点$(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通るものをすべて求めよ．

(2)　実数$a$に対し

$S={\displaystyle {\int }_{-2}^2}|f(x)-ax|dx$

とおく．$a$が${\displaystyle \frac{1}{5}}\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

この問題については，答えだけでなく，答えを導く過程も書くこと．