2019　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0<x<2\pi$において，$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$2\pi <x$において，$f(x)$の極小値を小さい方から順に並べたものを$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k\text{，}$$\cdots$$\text{（}k\geqq 1\text{）}$とする．$a_k$を求めよ．ただし$a_k$の求め方を述べる必要はない．$a_k$の値のみを答えよ．

(4)　(3)で求めた$a_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{，}$$\cdots \text{）}$に対して，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k)}^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(a_1)}^{\frac{1}{n}}+{(a_2)}^{\frac{1}{n}}+\cdots +{(a_n)}^{\frac{1}{n}}}{n}}$

の値を求めよ．

　原点を$\mathrm{O}(0)$とする複素数平面上に$2$点$\mathrm{A}(2)\text{，}$$\mathrm{B}(z)$を考える．ここで点$\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$と異なる点とし，

$w={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+i)z}{2(z-2)}}$

を定義する．$w=\sqrt{3}$のとき，$z=\boxed{\text{①}}+\boxed{\text{②}}i$である．$\boxed{\text{①}}\text{，}$$\boxed{\text{②}}$は実数値で答えよ．また，この$z$に対して，$\mathrm{\angle OBA}=\boxed{\text{③}}$である．ただし$\boxed{\text{③}}$は弧度法で答えよ．

　$w$が実数値をとるような$z$がどのような図形の上にあるかを考える．$w=\bar{w}$を整理して$z$のみの式にすると

$|z-(\boxed{\text{④}})|=\boxed{\text{⑤}}\cdots$(＊)

となるので，点$z$は中心が複素数$\boxed{\text{④}}$で表され，半径$\boxed{\text{⑤}}$の円周上にあることがわかる．この円を$C$とする．次の式

$(1+2i)z+(1-2i)\bar{z}=2-4\sqrt{3}$

をみたす点$z$の表す図形$L$と円$C$との共有点を調べる．複素数$\alpha$に対して

$\beta =(1+2i)\alpha$

とおく．$\alpha$が図形$L$と円$C$との共有点になるとする．$\alpha$は図形$L$上の点だから，$\beta$の実部は$\boxed{\text{⑥}}$である．さらに$\alpha$は(＊)の式を満たすので，点$\beta$は中心を表す複素数が$1-2\sqrt{3}+(\boxed{\text{⑦}})i$であって，半径が$\boxed{\text{⑧}}$である円周上にある．このことから

$\beta =\boxed{\text{⑥}}+(2+\sqrt{3}\pm \boxed{\text{⑨}})i$

と求まる．

(1)　$b_n=a_n+1$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$で表し，$b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$b_n$を$2$進法で表したときの桁数を求めよ．

(3)　$a_n$を$2$進法で表した数の各位の数の和を求めよ．

(4)　$c_n=b_1{b}_2\cdots b_n$とおく．$c_n$を$n$を用いて表し，${a_n}^2$を整数$\sqrt{2c_n}$で割ったときの商と余りを求めよ．