2019　関西大　文系学部2月4日実施MathJax

【１】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,0)$がある．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からの距離の比が$2:1$である点の軌跡は，点$\boxed{\text{①}}$を中心とし半径が$\boxed{\text{②}}$の円である．

(2)　点$\mathrm{C}$$(x,y)$に対して，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれから$\mathrm{C}$までの距離の$2$乗の和は$x\text{，}$$y$を用いて，$\boxed{\text{③}}$と表され，その最小値は$\boxed{\text{④}}$である．$a$を$\boxed{\text{④}}<a$を満たす定数とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$それぞれからの距離の$2$乗の和が$a$である点の軌跡は，点$\boxed{\text{⑤}}$を中心とし半径が$\boxed{\text{⑥}}$の円である．

(3)　(1)で求めた円と(2)で求めた円が接するのは，$a=\boxed{\text{⑦}}\text{，}$$\boxed{\text{⑧}}$のときである．ただし，$\boxed{\text{⑦}}<\boxed{\text{⑧}}$とする．

【２】　平面上に平行四辺形$\mathrm{OACB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3$とする．また，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$とおく．次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{，}$$\boxed{\text{④}}\text{，}$$\boxed{\text{⑤}}\text{，}$$\boxed{\text{⑥}}$は$k$の式でうめよ．

　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta =\boxed{\text{①}}$である．これより，$k$の範囲は

$-\boxed{\text{②}}<k<\boxed{\text{②}}$

である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{③}}$と表される．

　$k\ne 0$であるとき，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$へ垂線を引き，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{L}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{AL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であることから，$\overrightarrow{\mathrm{OL}}=\boxed{\text{④}}\overrightarrow{b}$であることがわかる．同様にして，$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$へ垂線を引き，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{L}$を通り直線$\mathrm{OA}$に平行な直線と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{▵LMN}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}}{16}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{9}}\overrightarrow{b})$

と表される．点$\mathrm{G}$が$\mathrm{▵OAB}$の周または内部にあるような$k$の範囲は

$0<k\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑦}}}{41}}$

である．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-4x$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-4x$上の点$(-1,{\displaystyle \frac{11}{3}})$における接線の方程式を求めよ．また，この接線と曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．