2019　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y=x^2$および$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,a^2)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を通る傾き$m$$\text{（}m\ne 2a\text{）}$の直線を$l$とし，直線$l$と放物線$C$の$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{Q}$$(b,b^2)$とする．$b$を$m$と$a$を用いて表せ．またこのとき，直線$l$と放物線$C$とで囲まれる部分の面積$S$が${\displaystyle \frac{1}{6}}{|b-a|}^3$であることを積分を計算し示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り傾きが$\sqrt{3}$である直線$l_1$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り傾きが${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$である直線$l_2$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=8:1$であるときの$a$の値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの内角を$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$A={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\sin B\sin C$の値の範囲を求めよ．

(2)　$A$が一定のとき，$\sin B+\sin C$の値の範囲を$A$を用いて表せ．

(3)　$A$が一定のとき，$\sin B\sin C$の値の範囲を$A$を用いて表せ．

【３】　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$上に点${\mathrm{A}}_1$$(1,{\displaystyle \frac{5}{2}})\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$\{2,3)\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$$(n,{\displaystyle \frac{1}{2}}n+2)$があり，直線$y=ax$上に点${\mathrm{B}}_1$$(1,a)\text{，}$${\mathrm{B}}_2$$(2,2a)\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{B}}_n$$(n,na)$がある．ただし，$a$は実数とし，線分${\mathrm{A}}_i{\mathrm{B}}_i$の長さを$d_i$とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　${d_1}^2+{d_2}^2$を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{①}}$である．また，これが最小となる$a$の値は$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　${d_k}^2$を$a$と$k$を用いて表すと，$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　${d_1}^2+{d_2}^2+\cdots +{d_n}^2=\boxed{\text{④}}{a}^2+\boxed{\text{⑤}}a+\boxed{\text{⑥}}$である．また，この値が最小となる$a$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　座標平面上で$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．格子点上を次の規則に従って点$\mathrm{P}$が移動するゲームを考える．最初$\mathrm{P}$は$(0,0)$にあるものとする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　正六面体のさいころの各面に$1$から$6$の数字が$1$つずつ書かれている．点$\mathrm{P}$が格子点$(m,n)$にあるとき，このさいころを振って$1$または$2$が出れば$\mathrm{P}$は$(m+1,n+1)$に移動し，$3$または$4$が出れば$(m+1,n)$に移動し，$5$または$6$が出れば$(m+1,n-1)$へ移動する．$\mathrm{P}$が$(3,1)$に到達するさいころの目の出方は$\boxed{\text{①}}$通りであり，$(4,0)$に到達する場合は$\boxed{\text{②}}$通りである．

(2)　正八面体のさいころの各面に$1$から$8$の数字が$1$つずつ書かれている．点$\mathrm{P}$が格子点$(m,n)$にあるとき，このさいころを振って$1$または$2$が出れば$\mathrm{P}$は$(m+1,n+1)$に移動し，$7$または$8$が出れば$(m+1,n-1)$に移動し，それ以外のときは$(m+1,n)$へ移動する．$\mathrm{P}$が$(3,1)$に到達するさいころの目の出方は，$\boxed{\text{③}}$通りであり，$(4,1)$に到達する場合は$\boxed{\text{④}}$通り，$(4,-1)$に到達する場合は$\boxed{\text{⑤}}$通りである．任意の自然数$n$に対して，格子点$(n,n-1)\text{，}$$(n,0)\text{，}$$(n,-n-1)$のうち到達できない格子点は$\boxed{\text{⑥}}$である．