2019　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　$p$を素数とする．次の問いに答えよ．

(1)　分母が$p$である既約分数で，$0$より大きく$1$より小さいものの個数を求めよ．

(2)　$k$を自然数とする．分母が$p$である既約分数で，$k-1$より大きく$k$より小さいものの和$S_k$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とし，$S_k$を(2)で求めたものとする．和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{〜}$$\boxed{\text{③}}$は$t$の式で，$\boxed{\text{④}}\text{〜}$$\boxed{\text{⑥}}$は数値でうめよ．

　$t>1$とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とおく．点$\mathrm{A}$$(t,0)$と点$\mathrm{K}$$(0,1)$を通る直線と$C$との交点のうち，$\mathrm{K}$と異なる点を$\mathrm{P}$とおくと，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{①}}$であり，$y$座標は$\boxed{\text{②}}$である．さらに，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$$(0,-1)$を通る直線と$C$との交点のうち，$\mathrm{M}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とおくと，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{③}}$である．

　$t>1$より，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$を用いて，$t=\tan \theta$と表すことができる．このとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$S$とおくと，$S=\boxed{\text{④}}\sin 4\theta$である．よって，$\theta =\boxed{\text{⑤}}$のとき，$S$は最大値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　空間内に$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$がある．$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を$0<p<1\text{，}$$0<q<1\text{，}$$0<r<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{AB}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CG}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{HE}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$と$p\text{，}$$q$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(\boxed{\text{①}})\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\boxed{\text{②}}\overrightarrow{\mathrm{CG}}$

と表される．同様にベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{HE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{EA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$p\text{，}$$r$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{RP}}=(\boxed{\text{③}})\overrightarrow{\mathrm{HE}}+\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

と表される．したがって，内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表すと$\boxed{\text{⑤}}$である．また，ベクトルの大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を$p\text{，}$$q$を用いて表すと，$\boxed{\text{⑥}}$である．よって，$p=q=r$のとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積を$p$を用いて表すと$\boxed{\text{⑦}}$であり，その最小値は$\boxed{\text{⑧}}$である．