2019　関西大　総合情報学部2月4日実施MathJax

(1)　$p\text{，}$$q$を正の実数とする．平面上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が与えられたとき，線分$\mathrm{PQ}$を$p:q$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．直線$\mathrm{PQ}$上にない点$\mathrm{O}$をとるとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{1}{p+q}}(q\overrightarrow{\mathrm{OP}}+p\overrightarrow{\mathrm{OQ}})$

が成り立つことを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{\angle A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{1}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}}(|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

が成り立つことを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=c\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|=b$とおくとき，内心が三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの内角の二等分線の交点であることを用いて，平面上の任意の点$\mathrm{O}$に対し，

$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{1}{a+b+c}}(a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}})$

が成り立つことを示せ．

(4)　$\mathrm{O}$$(2,-3)\text{，}$$\mathrm{A}$$(5,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,4)$であるとき三角形$\mathrm{OAB}$の内心$\mathrm{I}$の座標を求めよ．

(1)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$0<a<1$の範囲で$S(a)$が最大となるときの$a$と$S(a)$の値を求めよ．

(1)　$10$進数の$28$を$2$進数で表すと$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$3^{20}$は$2$進数では$\boxed{\text{②}}$桁となる．

(3)　$n$を$4$以上の自然数とする．$n$桁の$2$進数で$1$が$3$回現れる数のうち，最大のものは$10$進数で$\boxed{\text{③}}$で，最小のものは$\boxed{\text{④}}$である．

(4)　$2$進数で$1_{(2)}\text{，}$${101}_{(2)}\text{，}$${100101}_{(2)}\text{，}$${1000100101}_{(2)}\text{，}$${100001000100101}_{(2)}\text{，}$$\cdots$のような数の列$\{a_n\}$を考える．このような数列の$n$番目の数の$2$進数での桁数は$\boxed{\text{⑤}}$である．また，$a_n$が$10$進数の$1000000$を超える最小の$n$は$\boxed{\text{⑥}}$である．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\mathrm{A}$が勝つ確率を$x$と$y$を用いて表すと$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$が勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるときの$x$の値は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$が勝つ確率が${\displaystyle \frac{7}{16}}$以上となる$(x,y)$の組は$\boxed{\text{③}}$通りあり，$x$の最大値は$\boxed{\text{④}}$である．

(4)　取り出した球を元に戻さず，ゲームを続けて$2$回行うとき，$2$回とも$\mathrm{A}$が勝つ確率が最大となるときの$x$の値は，$\boxed{\text{⑤}}$で，そのときの確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．